Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função cujo limite queremos é
. - O ponto de interesse é
. - A pergunta é: qual é o valor do limite quando
se aproxima de ?
Passo 2
Ideia geral e propriedades que vamos usar (explicação didática):
- Se
e existem e são finitos, então
Isto diz que “o limite da soma é a soma dos limites”.
- Se
é constante, então
Isto permite puxar constantes para fora do limite.
- Se os limites de
e existem, então
Isto diz que “o limite do produto é o produto dos limites”.
- Observação prática: projeções coordenadas
e são funções simples e têm limites óbvios: quando então e . - Outra observação: polinômios em
e (somas, produtos e constantes) são funções contínuas, então o limite pode ser obtido apenas avaliando a função no ponto. Vamos aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Calcular os limites das coordenadas (pequena lição):
Quando temos
Quando
e
Explicação curta: ao aproximar a dupla
de
, a primeira coordenada aproxima de
e a segunda de
.
Passo 4
Aplicar a propriedade da constante multiplicativa para calcular
:
Aqui usamos que podemos tirar a constante
para fora do limite.
Passo 5
Já sabemos o limite de
, reescrevendo:
Passo 6
Calcular o limite de
usando produto e constante:
Primeiro tiremos a constante para fora:
Primeiro tiremos a constante
Agora use que o limite do produto é o produto dos limites:
Portanto
Passo 7
Somar os resultados parciais para obter o limite total:
Usando que o limite da soma é a soma dos limites,
Usando que o limite da soma é a soma dos limites,
Substituindo os valores já calculados:
Passo 8
Verificação rápida pela continuidade (dica prática para prova):
A função é polinomial em
e
, logo contínua. Para funções contínuas, o limite no ponto é simplesmente o valor da função no ponto:
A função
o que confirma o resultado anterior. Bom trabalho — você já tem a técnica para limites de somas e produtos!