Usando as propriedades de limite, calcule o valor de cada limite abaixo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(3,-1)} 2 x+y-4 x y

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} 2x + y - 4xy.
Informações dadas:
  • A função cujo limite queremos é f(x,y)=2x+y-4xy.
  • O ponto de interesse é (3,-1).
  • A pergunta é: qual é o valor do limite quando (x,y) se aproxima de (3,-1)?

Passo 2

Ideia geral e propriedades que vamos usar (explicação didática):
  • Se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y) existem e são finitos, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)}\big(f+g\big) = \lim_{(x,y)\to(a,b)} f + \lim_{(x,y)\to(a,b)} g.
Isto diz que “o limite da soma é a soma dos limites”.
  • Se c é constante, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} c\cdot f(x,y) = c\cdot \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y).
Isto permite puxar constantes para fora do limite.
  • Se os limites de f e g existem, então
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \big(f\cdot g\big) = \Big(\lim_{(x,y)\to(a,b)} f\Big)\cdot\Big(\lim_{(x,y)\to(a,b)} g\Big).
Isto diz que “o limite do produto é o produto dos limites”.
  • Observação prática: projeções coordenadas x\mapsto x e y\mapsto y são funções simples e têm limites óbvios: quando (x,y)\to(a,b) então \lim x=a e \lim y=b.
  • Outra observação: polinômios em x e y (somas, produtos e constantes) são funções contínuas, então o limite pode ser obtido apenas avaliando a função no ponto. Vamos aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Calcular os limites das coordenadas (pequena lição):
Quando (x,y)\to(3,-1) temos
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} x = 3
e
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} y = -1.
Explicação curta: ao aproximar a dupla (x,y) de (3,-1), a primeira coordenada aproxima de 3 e a segunda de -1.

Passo 4

Aplicar a propriedade da constante multiplicativa para calcular \lim 2x:
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} 2x = 2\cdot \lim_{(x,y)\to(3,-1)} x = 2\cdot 3 = 6.
Aqui usamos que podemos tirar a constante 2 para fora do limite.

Passo 5

Já sabemos o limite de y, reescrevendo:
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} y = -1.

Passo 6

Calcular o limite de -4xy usando produto e constante:
Primeiro tiremos a constante -4 para fora:
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} (-4xy) = -4 \cdot \lim_{(x,y)\to(3,-1)} (x y).
Agora use que o limite do produto é o produto dos limites:
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} (x y) = \Big(\lim_{(x,y)\to(3,-1)} x\Big)\cdot\Big(\lim_{(x,y)\to(3,-1)} y\Big) = 3\cdot(-1) = -3.
Portanto
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} (-4xy) = -4\cdot(-3) = 12.

Passo 7

Somar os resultados parciais para obter o limite total:
Usando que o limite da soma é a soma dos limites,
\lim_{(x,y)\to(3,-1)} \big(2x + y - 4xy\big) = \lim_{(x,y)\to(3,-1)} 2x \;+\; \lim_{(x,y)\to(3,-1)} y \;+\; \lim_{(x,y)\to(3,-1)} (-4xy).
Substituindo os valores já calculados:
= 6 + (-1) + 12 = 17.

Passo 8

Verificação rápida pela continuidade (dica prática para prova):
A função f(x,y)=2x+y-4xy é polinomial em x e y, logo contínua. Para funções contínuas, o limite no ponto é simplesmente o valor da função no ponto:
f(3,-1)=2\cdot 3 + (-1) - 4\cdot 3\cdot(-1)=6-1+12=17,
o que confirma o resultado anterior. Bom trabalho — você já tem a técnica para limites de somas e produtos!

Resposta

17

Exercícios relacionados