Verifique que cada limite a seguir não existe, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que o limite
não existe, justificando a resposta.
Informações dadas: a expressão é a função de três variáveis e o ponto de interesse é
. A tarefa é mostrar que esse limite não existe.
Informações dadas: a expressão é a função de três variáveis
Passo 2
Conceito usado (explicado de forma simples): para que o limite de uma função de várias variáveis exista em um ponto, o valor da função quando nos aproximamos desse ponto deve convergir ao mesmo número por qualquer caminho que levemos até o ponto. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que levam a pontos com limites diferentes — nesse caso, o limite total não pode existir. Vou aplicar exatamente esse método: calcular a expressão ao longo de duas curvas diferentes que tendem a
e comparar os resultados.
Passo 3
Primeiro caminho simples: aproximar por
com
(ou seja,
,
,
). Substituindo na expressão:
Logo a fração é
e então a expressão completa vale
Tomando
obtemos
Portanto, ao longo do caminho
o limite da função é
.
Passo 4
Segundo caminho: escolho uma curva que torne o denominador de ordem maior em
, de modo que a fração com
produza um valor não nulo no limite. Uma escolha conveniente é tomar
e
, fazendo
. Substituindo:
Então a fração é
Multiplicando por
(lembrando que a expressão original tem esse fator
):
Agora tomamos
e obtemos
Portanto, ao longo da curva
o limite da função é
.
Passo 5
Comparando os dois caminhos:
- Pelo caminho
o limite deu . - Pelo caminho
o limite deu .
Como os limites ao longo de duas curvas que chegam a
são diferentes, o limite total em
não existe. Isso conclui a justificativa.
Resposta
O limite não existe.