Verifique que cada limite a seguir não existe, justificando sua resposta.
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{4 x-y+2 z}{x+3 y-z} z \rightarrow 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)} \frac{4x-y+2z}{x+3y-z}\,z
não existe, justificando a resposta.
Informações dadas: a expressão é a função de três variáveis \displaystyle f(x,y,z)=\frac{4x-y+2z}{x+3y-z}\,z e o ponto de interesse é (x,y,z)\to(0,0,0). A tarefa é mostrar que esse limite não existe.

Passo 2

Conceito usado (explicado de forma simples): para que o limite de uma função de várias variáveis exista em um ponto, o valor da função quando nos aproximamos desse ponto deve convergir ao mesmo número por qualquer caminho que levemos até o ponto. Uma maneira prática de mostrar que o limite não existe é encontrar dois caminhos que levam a pontos com limites diferentes — nesse caso, o limite total não pode existir. Vou aplicar exatamente esse método: calcular a expressão ao longo de duas curvas diferentes que tendem a (0,0,0) e comparar os resultados.

Passo 3

Primeiro caminho simples: aproximar por (x,y,z)=(0,0,t) com t\to0 (ou seja, x=0, y=0, z\to0). Substituindo na expressão:
4x-y+2z = 4\cdot 0 - 0 + 2t = 2t,
x+3y-z = 0 + 0 - t = -t.
Logo a fração é
\frac{4x-y+2z}{x+3y-z} = \frac{2t}{-t} = -2 \quad (t\neq 0),
e então a expressão completa vale
\frac{4x-y+2z}{x+3y-z}\,z = (-2)\cdot t = -2t.
Tomando t\to0 obtemos
\lim_{t\to0} -2t = 0.
Portanto, ao longo do caminho (0,0,t) o limite da função é 0.

Passo 4

Segundo caminho: escolho uma curva que torne o denominador de ordem maior em z, de modo que a fração com z produza um valor não nulo no limite. Uma escolha conveniente é tomar y=0 e x=z+z^2, fazendo z\to0. Substituindo:
4x-y+2z = 4(z+z^2) - 0 + 2z = 4z + 4z^2 + 2z = z(6 + 4z),
x+3y-z = (z+z^2) + 0 - z = z^2.
Então a fração é
\frac{4x-y+2z}{x+3y-z} = \frac{z(6+4z)}{z^2} = \frac{6+4z}{z}\quad (z\neq0).
Multiplicando por z (lembrando que a expressão original tem esse fator z):
\frac{4x-y+2z}{x+3y-z}\,z = \left(\frac{6+4z}{z}\right)\,z = 6 + 4z.
Agora tomamos z\to0 e obtemos
\lim_{z\to0} (6 + 4z) = 6.
Portanto, ao longo da curva x=z+z^2,\\ y=0,\\ z\to0 o limite da função é 6.

Passo 5

Comparando os dois caminhos:
  • Pelo caminho (0,0,t) o limite deu 0.
  • Pelo caminho x=z+z^2,\\ y=0,\\ z\to0 o limite deu 6.
Como os limites ao longo de duas curvas que chegam a (0,0,0) são diferentes, o limite total em (0,0,0) não existe. Isso conclui a justificativa.

Resposta

O limite não existe.

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