Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OE}}
\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}

Passo 1

O enunciado pede para expressar, em função dos vetores \overrightarrow{OD} e \overrightarrow{OE}, o vetor
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}.
Informações relevantes dadas:
  • ABCDEF é um hexágono regular.
  • O é o centro do hexágono (os vetores dados são vetores posição dos vértices em relação a O).
  • Os únicos vetores que podemos usar na expressão final devem ser \overrightarrow{OD} e \overrightarrow{OE} (ou combinações lineares deles).

Passo 2

Entender uma propriedade geométrica chave: em um polígono regular centrado em O, vértices opostos estão em posições simétricas em relação a O. Isso quer dizer que o vetor posição de um vértice oposto é o negativo do vetor posição do outro vértice. Vou explicar devagar porque isso é importante.
Considere dois vértices opostos, por exemplo A e D. A reta que passa por A, O e D tem O no meio (simetria central). Os vetores posição relativos a O apontam em direções opostas e têm o mesmo módulo (mesma distância ao centro). Logo,
\overrightarrow{OA} = -\,\overrightarrow{OD}.
Analogamente, para os outros pares de vértices opostos do hexágono regular vale:
\overrightarrow{OB} = -\,\overrightarrow{OE}, \qquad \overrightarrow{OC} = -\,\overrightarrow{OF}.

Passo 3

Agora use essas igualdades para reescrever a soma pedida. Agrupando em pares opostos:
\big(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}\big) +\big(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}\big) +\big(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}\big).
Substituindo as relações da simetria central ( \overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}, etc.), cada par fica:
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OD}=\vec{0},
\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE} = -\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OE}=\vec{0},
\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF} = -\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OF}=\vec{0}.

Passo 4

Somando os três resultados nulos:
\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} =\vec{0}+\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}.
Se for necessário exprimir explicitamente em função de \overrightarrow{OD} e \overrightarrow{OE}, pode-se escrever \vec{0}=0\cdot\overrightarrow{OD}+0\cdot\overrightarrow{OE}. Força aí — essa é uma conclusão bem comum em provas: a soma dos vetores posição dos vértices de um polígono regular centrado no origem é o vetor zero.

Resposta

\vec{0}

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