Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores \overrightarrow{\mathrm{OD}}, \overrightarrow{\mathrm{OE}} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{OE}}+\overrightarrow{\mathrm{OF}}
Passo 1
O enunciado pede para expressar, em função dos vetores \overrightarrow{OD} e \overrightarrow{OE}, o vetor
O é o centro do hexágono (os vetores dados são vetores posição dos vértices em relação a O).
Os únicos vetores que podemos usar na expressão final devem ser \overrightarrow{OD} e \overrightarrow{OE} (ou combinações lineares deles).
Passo 2
Entender uma propriedade geométrica chave: em um polígono regular centrado em O, vértices opostos estão em posições simétricas em relação a O. Isso quer dizer que o vetor posição de um vértice oposto é o negativo do vetor posição do outro vértice. Vou explicar devagar porque isso é importante.
Considere dois vértices opostos, por exemplo A e D. A reta que passa por A, O e D tem O no meio (simetria central). Os vetores posição relativos a O apontam em direções opostas e têm o mesmo módulo (mesma distância ao centro). Logo,
\overrightarrow{OA} = -\,\overrightarrow{OD}.
Analogamente, para os outros pares de vértices opostos do hexágono regular vale:
Se for necessário exprimir explicitamente em função de \overrightarrow{OD} e \overrightarrow{OE}, pode-se escrever \vec{0}=0\cdot\overrightarrow{OD}+0\cdot\overrightarrow{OE}. Força aí — essa é uma conclusão bem comum em provas: a soma dos vetores posição dos vértices de um polígono regular centrado no origem é o vetor zero.