Usando qualquer teste visto em sala de aula, determine se as séries abaixo são convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
Como o termo geral não está definido em
, consideramos a série a partir de
. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes.
Passo 2
Definimos a função
para
. Note que:
-
para todo . -
é contínua em (exceto em , mas não precisamos dessa região). - Para verificar que
é decrescente, basta observar que cresce e aparece no denominador elevado à potência . Formalmente,
Logo,
satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.
Passo 3
Aplicamos o Teste da Integral, analisando
Fazemos a substituição
o que transforma o integral em
Calculamos
Portanto,
que é finito. Logo, o integral converge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, como
converge, a série
também converge. Portanto, a série original é convergente.
Resposta
A série é convergente.