Usando qualquer teste visto em sala de aula, determine se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{3}}.
Como o termo geral não está definido em n=1, consideramos a série a partir de n=2. O conteúdo que vamos usar é o Teste da Integral para séries de termos positivos e decrescentes.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{3}},
para x\ge2. Note que:
  1. f(x)>0 para todo x\ge2.
  2. f é contínua em [2,\infty) (exceto em x=1, mas não precisamos dessa região).
  3. Para verificar que f é decrescente, basta observar que \ln x cresce e aparece no denominador elevado à potência 3. Formalmente,
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{-1}(\ln x)^{-3}\bigr] <0 \quad\text{para }x\ge2.
Logo, f satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.

Passo 3

Aplicamos o Teste da Integral, analisando
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{3}}.
Fazemos a substituição
t=\ln x,\quad dt=\frac{dx}{x},
o que transforma o integral em
\int_{\ln 2}^{\infty}t^{-3}\,dt.
Calculamos
\int t^{-3}\,dt =\int t^{-3}\,dt =-\frac{1}{2\,t^{2}}+C.
Portanto,
\int_{\ln 2}^{\infty}t^{-3}\,dt =\lim_{b\to\infty}\Bigl[-\frac{1}{2\,t^{2}}\Bigr]_{t=\ln 2}^{t=b} =\lim_{b\to\infty}\Bigl(-\frac{1}{2b^{2}}+\frac{1}{2(\ln 2)^{2}}\Bigr) =\frac{1}{2(\ln 2)^{2}},
que é finito. Logo, o integral converge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, como
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{3}}
converge, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{3}}
também converge. Portanto, a série original é convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados