Usando qualquer teste visto em sala de aula, determine se as séries abaixo são convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{5^{n}}.
O conteúdo abordado é teste de convergência para séries de termos gerais e, aqui, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 2

Seja a_{n}=\frac{n^{3}}{5^{n}}. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n+1)^{3}}{5^{\,n+1}}}{\frac{n^{3}}{5^{\,n}}} = \frac{(n+1)^{3}}{5\,n^{3}}.

Passo 3

Tomamos o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{3}}{5\,n^{3}} = \frac{1}{5}\,\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{3} = \frac{1}{5}\cdot 1 = \frac{1}{5}.
Como esse limite é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente e, logo, converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{3}}{5^{n}} é convergente.

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