Usando quatro casas decimais, aproxime integral0,1^2,1 x^x d x pela quadratura de Gauss-Legendre com quatro pontos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral integral0.1^2.1x^x,dx usando quadratura de Gauss–Legendre de 4 pontos. A ideia é usar a fórmula de Gauss–Legendre
integrala^b f(x),dx approx b-a2sumi=1^n wi,fl(b+a2+b-a2tir),
onde ti e wi são nós e pesos em [-1,1].

Passo 2

Para n=4, os nós e pesos em [-1,1] são:
t1=-0.8611363116, t2=-0.3399810436, t3=0.3399810436, t4=0.8611363116,
w1=0.3478548451, w2=0.6521451549, w3=0.6521451549, w4=0.3478548451

Passo 3

Fazendo a mudança de variável para [0.1,2.1], com a=0.1 e b=2.1, temos (b+a)/2=1.1 e (b-a)/2=1.0. Os pontos transformados são
xi=1.1+ti, i=1,2,3,4,
isto é
x1=0.2388636884,;x2=0.7600189564,;x3=1.4399810436,;x4=1.9611363116
Avaliando f(x)=x^x nesses pontos, obtemos aproximadamente
f(x1)=0.7109,;f(x2)=0.8119,;f(x3)=1.6916,;f(x4)=3.7429

Passo 4

Calculamos a soma ponderada dos valores:
sumi=1^4 wi,f(xi) =0.34785cdot0.7109+0.65215cdot0.8119+0.65215cdot1.6916+0.34785cdot3.7429 approx3.1816
Como (b-a)/2=1.0, a aproximação final da integral é
integral0.1^2.1x^x,dx approx3.1816

Resposta

3.1816

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