Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples ou compostas) e quais as quadraturas de Gauss-Legendre que permitem aproximar integral1^13 f? Justifique. Qual das fórmulas aplicáveis aproxima provavelmente melhor integral1^13 f? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais fórmulas de Newton–Cotes (simples ou compostas) e quais quadraturas de Gauss–Legendre podem ser usadas para aproximar integral1^13f(x),dx, e depois dizer qual delas deve dar a melhor aproximação. Vamos precisar saber a forma geral das regras de Newton–Cotes (fechadas) e como transformar o intervalo [1,13] para [-1,1] a fim de aplicar Gauss–Legendre.

Passo 2

As fórmulas simples de Newton–Cotes fechadas que se aplicam diretamente ao intervalo [1,13] são:
• Regra do trapézio (n=1 subtintervalo): seja h=b-a=12,
integral1^13f(x),dxapprox h2l[f(1)+f(13)r]
• Regra de Simpson (n=2 subtintervalos): h=(13-1)/2=6,
integral1^13f(x),dxapprox h3l[f(1)+4f(7)+f(13)r]
• Regra de Simpson 3/8 (n=3): h=4,
integral1^13f(x),dxapprox 3h8l[f(1)+3f(5)+3f(9)+f(13)r]
• Regra de Boole (n=4): h=3,
integral1^13f(x),dxapprox 2h45l[7f(1)+32f(4)+12f(7)+32f(10)+7f(13)r]

Passo 3

Todas essas regras exigem que avaliemos f em pontos igualmente espaçados que vão de 1 a 13. Para melhorar a precisão se o número de subintervalos for maior, podemos usar as versões compostas dessas regras. Por exemplo, a regra composta de Simpson divide [1,13] em m subintervalos pares de tamanho h=12/m e aplica localmente a fórmula
integral1^13f(x),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+cdots+f(xm)r], respeitando que m seja par. Analogamente existem as versões compostas do trapézio, de Simpson 3/8 (com m múltiplo de 3) e de Boole (com m múltiplo de 4).

Passo 4

Na quadratura de Gauss–Legendre usamos a mudança de variável
x=13+12+13-12t=7+6t, tin[-1,1], de modo que
integral1^13f(x),dx=6integral-1^1f(7+6t),dt Então, para uma regra de Gauss–Legendre com k nós ti e pesos Ai,
integral1^13f(x),dxapprox 6sumi=1^kAi,fl(7+6tir)

Passo 5

As quadraturas de Gauss–Legendre de ordem k são exatas para polinômios até grau 2k-1, enquanto uma regra de Newton–Cotes com n+1 pontos é exata até grau n+!1 no máximo. Entre todas as opções, uma quadratura de Gauss–Legendre de mesmo número de pontos k geralmente fornece maior grau de exatidão e menor erro para funções suaves. Portanto, é de se esperar que a melhor aproximação venha de uma regra de Gauss–Legendre (com número adequado de nós) em vez de qualquer fórmula de Newton–Cotes.

Passo 6

Em resumo:
• Fórmulas de Newton–Cotes aplicáveis: trapézio, Simpson, Simpson 3/8, Boole (simples) e suas versões compostas.
• Quadraturas de Gauss–Legendre aplicáveis: qualquer ordem k, usando a transformação x=7+6t.

Resposta

A quadratura de Gauss–Legendre (de ordem k à escolha) é provavelmente a que dará a melhor aproximação, pois atinge grau de exatidão 2k-1, superior ao das regras de Newton–Cotes com o mesmo número de avaliações de f.

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