Quais as fórmulas de Newton-Cotes (simples ou compostas) e quais as quadraturas de Gauss-Legendre que permitem aproximar
? Justifique. Qual das fórmulas aplicáveis aproxima provavelmente melhor
? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais fórmulas de Newton–Cotes (simples ou compostas) e quais quadraturas de Gauss–Legendre podem ser usadas para aproximar
, e depois dizer qual delas deve dar a melhor aproximação. Vamos precisar saber a forma geral das regras de Newton–Cotes (fechadas) e como transformar o intervalo
para
a fim de aplicar Gauss–Legendre.
Passo 2
As fórmulas simples de Newton–Cotes fechadas que se aplicam diretamente ao intervalo
são:
• Regra do trapézio (n=1 subtintervalo): seja ,
• Regra do trapézio (n=1 subtintervalo): seja
• Regra de Simpson (n=2 subtintervalos):
• Regra de Simpson 3/8 (n=3):
,
• Regra de Boole (n=4):
Passo 3
Todas essas regras exigem que avaliemos
em pontos igualmente espaçados que vão de 1 a 13. Para melhorar a precisão se o número de subintervalos for maior, podemos usar as versões compostas dessas regras. Por exemplo, a regra composta de Simpson divide
em
subintervalos pares de tamanho
e aplica localmente a fórmula
Passo 4
Na quadratura de Gauss–Legendre usamos a mudança de variável
Passo 5
As quadraturas de Gauss–Legendre de ordem
são exatas para polinômios até grau
, enquanto uma regra de Newton–Cotes com
pontos é exata até grau
no máximo. Entre todas as opções, uma quadratura de Gauss–Legendre de mesmo número de pontos
geralmente fornece maior grau de exatidão e menor erro para funções suaves. Portanto, é de se esperar que a melhor aproximação venha de uma regra de Gauss–Legendre (com número adequado de nós) em vez de qualquer fórmula de Newton–Cotes.
Passo 6
Em resumo:
• Fórmulas de Newton–Cotes aplicáveis: trapézio, Simpson, Simpson 3/8, Boole (simples) e suas versões compostas.
• Quadraturas de Gauss–Legendre aplicáveis: qualquer ordem , usando a transformação
.
• Fórmulas de Newton–Cotes aplicáveis: trapézio, Simpson, Simpson 3/8, Boole (simples) e suas versões compostas.
• Quadraturas de Gauss–Legendre aplicáveis: qualquer ordem
Resposta
A quadratura de Gauss–Legendre (de ordem
à escolha) é provavelmente a que dará a melhor aproximação, pois atinge grau de exatidão
, superior ao das regras de Newton–Cotes com o mesmo número de avaliações de
.