Usando o ramo principal do logaritmo (de modo que -pi), determine o módulo e o argumento de f^prime(1+i), onde
f(z)=z^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o módulo e o argumento de $ f^{\prime}(1+i) $, onde $ f(z) = z^{3/2} $.
Aqui estamos lidando com funções de números complexos e precisamos usar o conceito de derivada para funções complexas. Também vamos usar a forma polar dos números complexos para encontrar o módulo e o argumento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ f(z) = z^{3/2} $. Em cálculo complexo, a derivada de $ z^k $ é dada por:
f(z) = z^3/2
No nosso caso, $ k = \frac{3}{2} $, então:
z^k

Passo 3

Agora, vamos avaliar $ f^{\prime}(1+i) $:
f^prime(1+i)
Para simplificar isso, precisamos encontrar a raiz quadrada de $ 1+i $.

Passo 4

Vamos escrever $ 1+i $ na forma polar. Um número complexo $ z = x + iy $ pode ser escrito como $ r e^{i\theta} $, onde:
1+i ó
z = x + iy
Para $ 1+i $:
r e^itheta
r = raizx^2 + y^2 (módulo)
Então:
theta = arctan(yx) (argumento)

Passo 5

Agora, vamos encontrar $ (1+i)^{\frac{1}{2}} $. Usando a forma polar:
(1+i)^12
Então:
z^k = r^k e^i k theta

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão para $ f^{\prime}(1+i) $:
f^prime(1+i)
Podemos simplificar $ 2^{\frac{1}{4}} $ como $ \sqrt{\sqrt{2}} $, mas para efeito do módulo e argumento, podemos deixar assim mesmo.

Passo 7

Agora, identificamos o módulo e o argumento de $ f^{\prime}(1+i) $:
  • Módulo: $ \frac{3}{2} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $
  • Argumento: $ \frac{\pi}{8} $

Resposta

O módulo de $ f^{\prime}(1+i) $ é $ \frac{3}{2} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $ e o argumento é $ \frac{\pi}{8} $.

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