Usando o ramo principal do logaritmo (de modo que
), determine o módulo e o argumento de
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o módulo e o argumento de $ f^{\prime}(1+i) $, onde $ f(z) = z^{3/2} $.
Aqui estamos lidando com funções de números complexos e precisamos usar o conceito de derivada para funções complexas. Também vamos usar a forma polar dos números complexos para encontrar o módulo e o argumento. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ f(z) = z^{3/2} $. Em cálculo complexo, a derivada de $ z^k $ é dada por:
No nosso caso, $ k = \frac{3}{2} $, então:
Passo 3
Agora, vamos avaliar $ f^{\prime}(1+i) $:
Para simplificar isso, precisamos encontrar a raiz quadrada de $ 1+i $.
Passo 4
Vamos escrever $ 1+i $ na forma polar. Um número complexo $ z = x + iy $ pode ser escrito como $ r e^{i\theta} $, onde:
Para $ 1+i $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ (1+i)^{\frac{1}{2}} $. Usando a forma polar:
Então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão para $ f^{\prime}(1+i) $:
Podemos simplificar $ 2^{\frac{1}{4}} $ como $ \sqrt{\sqrt{2}} $, mas para efeito do módulo e argumento, podemos deixar assim mesmo.
Passo 7
Agora, identificamos o módulo e o argumento de $ f^{\prime}(1+i) $:
- Módulo: $ \frac{3}{2} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $
- Argumento: $ \frac{\pi}{8} $
Resposta
O módulo de $ f^{\prime}(1+i) $ é $ \frac{3}{2} \cdot 2^{\frac{1}{4}} $ e o argumento é $ \frac{\pi}{8} $.