Verifique que a função
dada por
é derivável em todo
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdos Necessários
Estamos verificando se a função $ f: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} $ definida por
é derivável em todo $ z \in \mathbf{C} $.
Conteúdos que Vamos Precisar:
- Forma Polar e Retangular: Converter a função de coordenadas polares $ (r, \theta) $ para retangulares $ (x, y) $.
- Equações de Cauchy-Riemann: Condições necessárias para que uma função seja derivável no sentido complexo.
- Derivadas Parciais: Calcular as derivadas de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos usar esses conceitos para analisar a função passo a passo.
Passo 2
Convertendo $ f(z) $ para Coordenadas Retangulares
Primeiro, vamos expressar $ f(z) $ em termos de $ x $ e $ y $, onde $ z = x + iy $, $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $, e $ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $.
Sabemos que:
Substituindo na função $ f(z) $:
Simplificando:
Agora, precisamos expressar $ \cos(4\theta) $ e $ \sin(4\theta) $ em termos de $ x $ e $ y $.
Passo 3
Expressando $ \cos(4\theta) $ e $ \sin(4\theta) $
Usando as fórmulas de múltiplos ângulos:
Substituindo $ \cos \theta = \frac{x}{r} $ e $ \sin \theta = \frac{y}{r} $:
Simplificando:
Agora, multiplicamos por $ r^4 $ e $ r^4 $ no caso de $ \cos(4\theta) $ e $ \sin(4\theta) $, respectivamente:
Passo 4
Expressando $ f(z) $ em Termos de $ x $ e $ y $
Substituindo os valores obtidos no Passo 3 na expressão de $ f(z) $:
Lembrando que $ r^2 = x^2 + y^2 $, substituímos:
Simplificando:
Simplificando mais:
Agora temos $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, onde:
Passo 5
Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
Para verificar se $ f(z) $ é derivável, usamos as Equações de Cauchy-Riemann, que são:
Vamos calcular cada derivada:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
Agora, verificamos as equações:
-
e $ \Rightarrow $ Igual. -
e $ \Rightarrow $ Igual.
Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todo $ x $ e $ y $, isso significa que $ f(z) $ é derivável em todo o plano complexo.
Resposta
A função $ f(z) $ é derivável em todo $ z \in \mathbf{C} $.