Verifique que a função f: C C dada por
f(z)=5 r cos theta+r^4 cos (4 theta)+i(5 r sen theta+r^4 sen(4 theta)), z=r e^i theta
é derivável em todo z in C.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdos Necessários
Estamos verificando se a função $ f: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} $ definida por
f: C C
é derivável em todo $ z \in \mathbf{C} $.
Conteúdos que Vamos Precisar:
  1. Forma Polar e Retangular: Converter a função de coordenadas polares $ (r, \theta) $ para retangulares $ (x, y) $.
  2. Equações de Cauchy-Riemann: Condições necessárias para que uma função seja derivável no sentido complexo.
  3. Derivadas Parciais: Calcular as derivadas de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $.
Vamos usar esses conceitos para analisar a função passo a passo.

Passo 2

Convertendo $ f(z) $ para Coordenadas Retangulares
Primeiro, vamos expressar $ f(z) $ em termos de $ x $ e $ y $, onde $ z = x + iy $, $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $, e $ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) $.
Sabemos que:
f(z)
Substituindo na função $ f(z) $:
f(z)
Simplificando:
x
Agora, precisamos expressar $ \cos(4\theta) $ e $ \sin(4\theta) $ em termos de $ x $ e $ y $.

Passo 3

Expressando $ \cos(4\theta) $ e $ \sin(4\theta) $
Usando as fórmulas de múltiplos ângulos:
cos(4theta)
sin(4theta)
Substituindo $ \cos \theta = \frac{x}{r} $ e $ \sin \theta = \frac{y}{r} $:
cos(4theta) = 8cos^4 theta - 8cos^2 theta + 1
sin(4theta) = 4sin theta cos theta (2cos^2 theta - 1)
Simplificando:
cos theta = xr
sin theta = yr
Agora, multiplicamos por $ r^4 $ e $ r^4 $ no caso de $ \cos(4\theta) $ e $ \sin(4\theta) $, respectivamente:
cos(4theta) = 8(xr)^4 - 8(xr)^2 + 1
sin(4theta) = 4(yr)(xr)(2(xr)^2 - 1)

Passo 4

Expressando $ f(z) $ em Termos de $ x $ e $ y $
Substituindo os valores obtidos no Passo 3 na expressão de $ f(z) $:
f(z)
Lembrando que $ r^2 = x^2 + y^2 $, substituímos:
x
Simplificando:
y
f(z)
Simplificando mais:
f(z) = 5x + 8x^4 - 8x^2 r^2 + r^4 + i(5y + 4xy(2x^2 - r^2))
Agora temos $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, onde:
r^2 = x^2 + y^2
f(z) = 5x + 8x^4 - 8x^2(x^2 + y^2) + (x^2 + y^2)^2 + i(5y + 4xy(2x^2 - (x^2 + y^2)))

Passo 5

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann
Para verificar se $ f(z) $ é derivável, usamos as Equações de Cauchy-Riemann, que são:
f(z)
Vamos calcular cada derivada:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
partial upartial x
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial y} $:
partial upartial x = 5 + 4x^3 - 12x y^2
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial x} $:
partial vpartial y
Agora, verificamos as equações:
  1. partial vpartial y = 5 + 4x^3 - 12x y^2 e partial upartial y $ \Rightarrow $ Igual.
  2. partial upartial y = -12x^2 y + 4y^3 e partial vpartial x $ \Rightarrow $ Igual.
Como ambas as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todo $ x $ e $ y $, isso significa que $ f(z) $ é derivável em todo o plano complexo.

Resposta

A função $ f(z) $ é derivável em todo $ z \in \mathbf{C} $.

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