Determine os pontos onde a função
é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função complexa $ f(z) = x^{2} - x + y + \mathbf{i}(y^{2} - 5y - x) $ é derivável. Isso envolve calcular onde a função é holomorfa, ou seja, onde ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função $ f(z) $. Podemos escrever $ f(z) $ na forma $ f(z) = u(x, y) + \mathbf{i}v(x, y) $, onde:
Passo 3
Agora, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que são necessárias para que uma função complexa seja derivável (ou holomorfa) em um ponto. As equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ u(x, y) $:
Para $ v(x, y) $:
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas segundo as equações de Cauchy-Riemann:
-
:
Resolvendo essa equação:
-
:
Essa segunda equação é sempre verdadeira, então a condição principal vem da primeira equação.
Passo 5
Concluímos que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas quando $ y = x + 2 $. Isso significa que a função $ f(z) $ é derivável em todos os pontos do plano complexo que estão sobre a reta $ y = x + 2 $.
Resposta
A função é derivável em todos os pontos onde $ y = x + 2 $.