Determine os pontos onde a função
f(z)=x^2-x+y+i(y^2-5 y-x)
é derivável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função complexa $ f(z) = x^{2} - x + y + \mathbf{i}(y^{2} - 5y - x) $ é derivável. Isso envolve calcular onde a função é holomorfa, ou seja, onde ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função $ f(z) $. Podemos escrever $ f(z) $ na forma $ f(z) = u(x, y) + \mathbf{i}v(x, y) $, onde:
f(z)
f(z)

Passo 3

Agora, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que são necessárias para que uma função complexa seja derivável (ou holomorfa) em um ponto. As equações são:
partial upartial x = partial vpartial y
partial upartial y = -partial vpartial x
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para $ u(x, y) $:
u(x, y)
partial upartial x = 2x - 1
Para $ v(x, y) $:
partial upartial y = 1
v(x, y)

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas segundo as equações de Cauchy-Riemann:
  1. partial upartial x = partial vpartial y:
2x - 1 = 2y - 5
Resolvendo essa equação:
2x - 2y = -4 implies x - y = -2 implies y = x + 2
  1. partial upartial y = -partial vpartial x:
1 = -(-1) implies 1 = 1
Essa segunda equação é sempre verdadeira, então a condição principal vem da primeira equação.

Passo 5

Concluímos que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas quando $ y = x + 2 $. Isso significa que a função $ f(z) $ é derivável em todos os pontos do plano complexo que estão sobre a reta $ y = x + 2 $.

Resposta

A função é derivável em todos os pontos onde $ y = x + 2 $.

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