Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that Z has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the following probabilities for the standard normal random variable Z :
P(-2.34<Z<1.76)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade P(-2,34<Z<1,76), onde Z é uma variável aleatória com distribuição normal padrão.
Informações dadas: Z tem distribuição padrão, ou seja, média 0 e desvio-padrão 1, e devo usar a Appendix Table III da referência (denominada aqui Montgomery, 2006).

Passo 2

Entendendo a estratégia (sem resolver ainda): vamos escrever a probabilidade em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotaremos por \Phi(z)=P(Z<z). Então
P(-2,34<Z<1,76)=\Phi(1,76)-\Phi(-2,34).
Usaremos a simetria da normal padrão: para todo a>0,
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Substituindo isso em cima obtemos
P(-2,34<Z<1,76)=\Phi(1,76)+\Phi(2,34)-1.

Passo 3

Como ler a Appendix Table III (aula rápida e prática): muitas tabelas (incluindo a Appendix Table III) dão a área entre 0 e z para z>0; ou seja, a tabela fornece o valor
A(z)=P(0<Z<z)=\Phi(z)-0,5.
Se a tabela que você tem for esse tipo (área entre 0 e z), então \Phi(z)=0,5+A(z). Substitindo na fórmula do Passo 2:
P(-2,34<Z<1,76)=(0,5+A(1,76))+(0,5+A(2,34))-1=A(1,76)+A(2,34).
Ou seja, nesse caso basta somar as duas entradas da tabela para z=1,76 e z=2,34. (Se a sua tabela der \Phi(z) diretamente, então use \Phi(1,76)+\Phi(2,34)-1; o resultado numérico será o mesmo.)

Passo 4

Vou pegar os valores na tabela (estou usando a Appendix Table III; explicitando onde li cada valor):
  • Para z=1,76: na tabela (linha 1,7, coluna 0,06) a área entre 0 e 1,76 é A(1,76)=0,4608. (Peguei esse dado da tabela.)
  • Para z=2,34: na tabela (linha 2,3, coluna 0,04) a área entre 0 e 2,34 é A(2,34)=0,4904. (Peguei esse dado da tabela.)
Observação curta sobre leitura: para achar A(1,76) você localiza a linha com 1,7 e a coluna 0,06; para A(2,34) a linha 2,3 e a coluna 0,04.

Passo 5

Somando as duas áreas obtidas da tabela (conforme a fórmula do Passo 3):
P(-2,34<Z<1,76)=A(1,76)+A(2,34)=0,4608+0,4904.

Passo 6

Calculando a soma (conta simples, passo a passo):
0,4608+0,4904=(0,4608+0,4900)+0,0004=0,9508+0,0004=0,9512.
Logo a probabilidade pedida é 0,9512.

Resposta

0,9512

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