Temos cinco urnas, cada uma com seis bolas. Duas dessas urnas (tipo C1) têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo C2) têm 2 bolas brancas, e a última urna (tipo C3) tem 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a probabilidade de a urna escolhida ser do tipo C3, sabendo-se que a bola sorteada é branca? Desenhe o Diagrama de árvores. O diagrama somente será considerado para a devida pontuação, se estiver desenhado conforme a explicação dada em sala de aula.
RESPOSTA: 0,376

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
  • Temos cinco urnas idênticas quanto à escolha, portanto a probabilidade de escolher qualquer urna ao acaso é a mesma.
  • Existem tipos de urna e quantidades:
    • Duas urnas do tipo C1 com 3 bolas brancas em 6 bolas.
    • Duas urnas do tipo C2 com 2 bolas brancas em 6 bolas.
    • Uma urna do tipo C3 com 6 bolas brancas em 6 bolas.
  • Probabilidades iniciais de escolher cada tipo (pela regra da escolha ao acaso entre as 5 urnas):
    • P(C1)=\dfrac{2}{5}.
    • P(C2)=\dfrac{2}{5}.
    • P(C3)=\dfrac{1}{5}.
  • Probabilidades condicionais de tirar uma bola branca dado cada tipo:
    • P(\text{branca}\mid C1)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
    • P(\text{branca}\mid C2)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
    • P(\text{branca}\mid C3)=\dfrac{6}{6}=1.
  • O que o problema pede:
    • Calcular P\bigl(C3 \mid \text{branca}\bigr), ou seja, a probabilidade de que a urna escolhida seja do tipo C3, sabendo que a bola sorteada é branca.
    • Desenhar o diagrama de árvore (vou representar o diagrama em texto conforme explicado em sala).

Passo 2

Desenho do diagrama de árvore (representação textual; cada ramo mostra a probabilidade do evento):
Raiz (escolha da urna) separa em três ramos para os tipos C1,C2,C3 com suas probabilidades, e cada um desses ramos separa em “branca” e “preta” com as probabilidades condicionais.
  • Nível 1 (escolha da urna):
    • C1 com probabilidade \dfrac{2}{5}
      • branca: \dfrac{1}{2}
      • preta: 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}
    • C2 com probabilidade \dfrac{2}{5}
      • branca: \dfrac{1}{3}
      • preta: 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}
    • C3 com probabilidade \dfrac{1}{5}
      • branca: 1
      • preta: 0
Representação em forma de árvore (linhas mostram ramos e probabilidades):
CUIDADO: todos os símbolos matemáticos abaixo estão em TeX.
\begin{array}{l} \text{(Start)}\\\ \quad\to C1\\ \bigl(P(C1)=\tfrac{2}{5}\bigr) \\\ \qquad\to \text{branca}\\ \bigl(P(\text{branca}\mid C1)=\tfrac{1}{2}\bigr)\\\ \qquad\to \text{preta}\\ \bigl(P(\text{preta}\mid C1)=\tfrac{1}{2}\bigr)\\[4pt] \quad\to C2\\ \bigl(P(C2)=\tfrac{2}{5}\bigr) \\\ \qquad\to \text{branca}\\ \bigl(P(\text{branca}\mid C2)=\tfrac{1}{3}\bigr)\\\ \qquad\to \text{preta}\\ \bigl(P(\text{preta}\mid C2)=\tfrac{2}{3}\bigr)\\[4pt] \quad\to C3\\ \bigl(P(C3)=\tfrac{1}{5}\bigr) \\\ \qquad\to \text{branca}\\ \bigl(P(\text{branca}\mid C3)=1\bigr)\\\ \qquad\to \text{preta}\\ \bigl(P(\text{preta}\mid C3)=0\bigr) \end{array}
Explicação rápida do diagrama: cada caminho da raiz até uma folha (por exemplo, C1 então “branca”) tem probabilidade conjunta igual ao produto das probabilidades nos ramos (por causa da regra da probabilidade para eventos sequenciais).]

Passo 3

Calcular as probabilidades conjuntas dos ramos “urna tipo Ci e bola branca” — isto é, P(Ci \text{ e } \text{branca}).
Regra usada: para dois eventos A e B, P(A\text{ e }B)=P(A)\,P(B\mid A). Aqui A é "escolher urna Ci" e B é “tirar branca”.
  • Para C1: P(C1\\ \text{e}\\ \text{branca}) = P(C1)\,P(\text{branca}\mid C1) = \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{2}.
  • Para C2: P(C2\\ \text{e}\\ \text{branca}) = P(C2)\,P(\text{branca}\mid C2) = \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}.
  • Para C3: P(C3\\ \text{e}\\ \text{branca}) = P(C3)\,P(\text{branca}\mid C3) = \dfrac{1}{5}\cdot 1.

Passo 4

Somar as probabilidades conjuntas para obter P(\text{branca}) (lei da probabilidade total).
Fórmula: P(\text{branca})=\sum_{i} P(Ci\\ \text{e}\\ \text{branca}).
Calcule cada termo numericamente:
\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}.
\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{15}.
\dfrac{1}{5}\cdot 1=\dfrac{1}{5}.
Somando:
P(\text{branca})=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{5}.
Para somar, coloque tudo sobre um denominador comum, por exemplo 15:
\dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15},\quad \dfrac{1}{5}=\dfrac{3}{15}.
Logo
P(\text{branca})=\dfrac{3}{15}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{3}{15}=\dfrac{8}{15}.
Verificação decimal: \dfrac{8}{15}\approx 0{,}53333\ldots

Passo 5

Aplicar a fórmula de Bayes para obter P\bigl(C3 \mid \text{branca}\bigr).
Fórmula de Bayes (intuição curta): para eventos A e B com P(B)>0,
P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.
Aqui queremos A=C3 e B=\text{branca}. Então
P\bigl(C3\mid \text{branca}\bigr) =\frac{P(\text{branca}\mid C3)\,P(C3)}{P(\text{branca})}.
Substituindo os valores já calculados:
P\bigl(C3\mid \text{branca}\bigr) =\frac{1\cdot \dfrac{1}{5}}{\dfrac{8}{15}} =\frac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{8}{15}}.
Fração sobre fração: dividir por \dfrac{8}{15} é multiplicar por \dfrac{15}{8}:
P\bigl(C3\mid \text{branca}\bigr)=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{15}{8}=\dfrac{15}{40}.
Simplificando a fração \dfrac{15}{40} dividindo numerador e denominador por 5:
\dfrac{15}{40}=\dfrac{3}{8}.
Decimal correspondente:
\dfrac{3}{8}=0{,}375.

Passo 6

Interpretação e dica para prova:
  • A resposta exata é \dfrac{3}{8}. Em decimal isso é 0{,}375.
  • Se na prova pedirem arredondamento, 0{,}375 arredonda para 0{,}38 com duas casas, ou para 0{,}376 se alguém usou arredondamento intermediário (mas o valor correto exato é 0{,}375).
  • Dica prática: desenhar rapidamente a árvore com probabilidades e calcular as probabilidades conjuntas facilita muito. Depois aplique Bayes com a fórmula direta.

Resposta

\dfrac{3}{8}=0{,}375

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