Temos cinco urnas, cada uma com seis bolas. Duas dessas urnas (tipo C1) têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo C2) têm 2 bolas brancas, e a última urna (tipo C3) tem 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a probabilidade de a urna escolhida ser do tipo C3, sabendo-se que a bola sorteada é branca? Desenhe o Diagrama de árvores. O diagrama somente será considerado para a devida pontuação, se estiver desenhado conforme a explicação dada em sala de aula.
RESPOSTA: 0,376
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Temos cinco urnas idênticas quanto à escolha, portanto a probabilidade de escolher qualquer urna ao acaso é a mesma.
- Existem tipos de urna e quantidades:
- Duas urnas do tipo
com bolas brancas em bolas. - Duas urnas do tipo
com bolas brancas em bolas. - Uma urna do tipo
com bolas brancas em bolas.
- Duas urnas do tipo
- Probabilidades iniciais de escolher cada tipo (pela regra da escolha ao acaso entre as
urnas): -
. -
. -
.
-
- Probabilidades condicionais de tirar uma bola branca dado cada tipo:
-
. -
. -
.
-
- O que o problema pede:
- Calcular
, ou seja, a probabilidade de que a urna escolhida seja do tipo , sabendo que a bola sorteada é branca. - Desenhar o diagrama de árvore (vou representar o diagrama em texto conforme explicado em sala).
- Calcular
Passo 2
Desenho do diagrama de árvore (representação textual; cada ramo mostra a probabilidade do evento):
Raiz (escolha da urna) separa em três ramos para os tipos com suas probabilidades, e cada um desses ramos separa em “branca” e “preta” com as probabilidades condicionais.
Raiz (escolha da urna) separa em três ramos para os tipos
- Nível 1 (escolha da urna):
-
com probabilidade - branca:
- preta:
- branca:
-
com probabilidade - branca:
- preta:
- branca:
-
com probabilidade - branca:
- preta:
- branca:
-
Representação em forma de árvore (linhas mostram ramos e probabilidades):
CUIDADO: todos os símbolos matemáticos abaixo estão em TeX.
CUIDADO: todos os símbolos matemáticos abaixo estão em TeX.
Explicação rápida do diagrama: cada caminho da raiz até uma folha (por exemplo,
então “branca”) tem probabilidade conjunta igual ao produto das probabilidades nos ramos (por causa da regra da probabilidade para eventos sequenciais).]
Passo 3
Calcular as probabilidades conjuntas dos ramos “urna tipo
e bola branca” — isto é,
.
Regra usada: para dois eventos e
,
. Aqui
é "escolher urna
" e
é “tirar branca”.
Regra usada: para dois eventos
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 4
Somar as probabilidades conjuntas para obter
(lei da probabilidade total).
Fórmula: .
Fórmula:
Calcule cada termo numericamente:
Somando:
Para somar, coloque tudo sobre um denominador comum, por exemplo
:
Logo
Verificação decimal:
Passo 5
Aplicar a fórmula de Bayes para obter
.
Fórmula de Bayes (intuição curta): para eventos
e
com
,
Aqui queremos
e
. Então
Substituindo os valores já calculados:
Fração sobre fração: dividir por
é multiplicar por
:
Simplificando a fração
dividindo numerador e denominador por
:
Decimal correspondente:
Passo 6
Interpretação e dica para prova:
- A resposta exata é
. Em decimal isso é . - Se na prova pedirem arredondamento,
arredonda para com duas casas, ou para se alguém usou arredondamento intermediário (mas o valor correto exato é ). - Dica prática: desenhar rapidamente a árvore com probabilidades e calcular as probabilidades conjuntas facilita muito. Depois aplique Bayes com a fórmula direta.