Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento aleatório. \mathrm{Se} \mathrm{P}(\mathrm{A})= 0, 3 ; P(A \cup B)=0,8 e \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{p}, para quais valores de p , A e B serão:
(a) Mutuamente excludentes?
(b) Independentes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
P(A)=0,3,\quad P(A\cup B)=0,8,\quad P(B)=p.
As perguntas são:
(a) Para quais valores de p os eventos A e B são mutuamente excludentes?
(b) Para quais valores de p os eventos A e B são independentes?

Passo 2

Vou começar lembrando uma fórmula básica sobre união e interseção de eventos. Para dois eventos A e B vale a identidade
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Nessa fórmula:
  • P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos);
  • P(A) e P(B) são as probabilidades individuais;
  • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente A e B.
Usando os dados do enunciado, podemos isolar P(A\cap B). Substituindo P(A)=0,3, P(A\cup B)=0,8 e P(B)=p obtemos:
0,8 = 0,3 + p - P(A\cap B).
Rearranjando para P(A\cap B),
P(A\cap B)=0,3 + p - 0,8 = p - 0,5.

Passo 3

Agora vamos ao item (a): definição e condição de “mutuamente excludentes”.
Dois eventos são mutuamente excludentes (ou disjuntos) quando não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é,
P(A\cap B)=0.
Usando a expressão que achamos para P(A\cap B),
p - 0,5 = 0.
Portanto,
p = 0,5.
Vou checar se esse valor é admissível: com p=0,5 temos P(A)=0,3, P(B)=0,5 e P(A\cup B)=0,3+0,5-0=0,8, que coincide com o dado do enunciado. Além disso 0\le p\le1 é satisfeito. Logo p=0,5 é válido e é a única solução para mutuamente excludentes.

Passo 4

Antes de resolver o item (b), é útil verificar quais valores de p são fisicamente possíveis dado o enunciado. Como P(A\cap B)=p-0,5 deve ser uma probabilidade válida, precisamos ter
0 \le P(A\cap B) \le \min\{P(A),P(B)\}.
A primeira desigualdade P(A\cap B)\ge0 p-0,5\ge0\Rightarrow p\ge0,5. A segunda, P(A\cap B)\le P(A)=0,3, dá p-0,5\le0,3\Rightarrow p\le0,8. Também temos a condição óbvia 0\le p\le1. Combinando tudo, os valores possíveis de p compatíveis com os dados do enunciado estão no intervalo
0,5 \le p \le 0,8.
Isso é útil para checar soluções.

Passo 5

Agora o item (b): definição e condição de independência.
Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro; formalmente,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
Substituindo P(A\cap B)=p-0,5, P(A)=0,3 e P(B)=p, obtemos a equação
p-0,5 = 0,3\cdot p.
Agora resolvemos essa equação passo a passo:
p-0,5 = 0,3p
p-0,3p = 0,5
0,7p = 0,5
p = \frac{0,5}{0,7} = \frac{5}{7}.
Em forma decimal,
p \approx 0,7142857\quad(\text{ou }0,714285\ldots).

Passo 6

Vamos checar se p=\frac{5}{7} está no intervalo de valores admissíveis que encontramos ( 0,5\le p\le0,8). Como \frac{5}{7}\approx0,714285 e 0,5\le0,714285\le0,8, a solução é admissível. Também verificamos a consistência:
P(A\cap B)=p-0,5=\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}\approx0,2142857,
e
P(A)P(B)=0,3\cdot\frac{5}{7}=\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{7}=\frac{15}{70}=\frac{3}{14},
logo a condição de independência é satisfeita.

Resposta

(a) p=0,5
(b) p=\dfrac{5}{7}\approx 0,7142857

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