Considere A e B dois eventos quaisquer associados a um experimento aleatório.
0,
e
, para quais valores de p , A e B serão:
(a) Mutuamente excludentes?
(b) Independentes?
(a) Mutuamente excludentes?
(b) Independentes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
As perguntas são:
(a) Para quais valores de os eventos
e
são mutuamente excludentes?
(b) Para quais valores de os eventos
e
são independentes?
(a) Para quais valores de
(b) Para quais valores de
Passo 2
Vou começar lembrando uma fórmula básica sobre união e interseção de eventos. Para dois eventos
e
vale a identidade
Nessa fórmula:
-
é a probabilidade de ocorrer ou (ou ambos); -
e são as probabilidades individuais; -
é a probabilidade de ocorrerem simultaneamente e .
Usando os dados do enunciado, podemos isolar
. Substituindo
,
e
obtemos:
Rearranjando para
,
Passo 3
Agora vamos ao item (a): definição e condição de “mutuamente excludentes”.
Dois eventos são mutuamente excludentes (ou disjuntos) quando não podem ocorrer ao mesmo tempo, isto é,
Usando a expressão que achamos para
,
Portanto,
Vou checar se esse valor é admissível: com
temos
,
e
, que coincide com o dado do enunciado. Além disso
é satisfeito. Logo
é válido e é a única solução para mutuamente excludentes.
Passo 4
Antes de resolver o item (b), é útil verificar quais valores de
são fisicamente possíveis dado o enunciado. Como
deve ser uma probabilidade válida, precisamos ter
A primeira desigualdade
dá
. A segunda,
, dá
. Também temos a condição óbvia
. Combinando tudo, os valores possíveis de
compatíveis com os dados do enunciado estão no intervalo
Isso é útil para checar soluções.
Passo 5
Agora o item (b): definição e condição de independência.
Dois eventos
e
são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro; formalmente,
Substituindo
,
e
, obtemos a equação
Agora resolvemos essa equação passo a passo:
Em forma decimal,
Passo 6
Vamos checar se
está no intervalo de valores admissíveis que encontramos (
). Como
e
, a solução é admissível. Também verificamos a consistência:
e
logo a condição de independência é satisfeita.
Resposta
(a)
(b)
(b)