Usando a referência: “MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C.; CALADO, Verônica. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016, 629p.”, a partir de agora nesta lista denominada Montgomery, 2006. Assume that Z has a standard normal distribution. Use Appendix Table III to determine the value for z that solves each of the following:
P(-z<Z<z)=0.95

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de z>0 tal que
P(-z < Z < z) = 0,95,
onde Z tem distribuição normal padrão. Informações dadas: a distribuição é standard normal (média 0, desvio padrão 1) e devo usar a Tabela Appendix Table III (Montgomery, 2006) para obter o valor de z. Não há outras informações necessárias.

Passo 2

Entendendo a probabilidade pedida e a simetria da normal padrão. Como a normal padrão é simétrica em torno de 0, a probabilidade central P(-z<Z<z) corresponde a duas caudas simétricas sendo excluídas. Se chamar \Phi(x) a função de distribuição acumulada da normal padrão (isto é, \Phi(x)=P(Z\le x)), então
P(-z<Z<z)=\Phi(z)-\Phi(-z).
Pela simetria da normal padrão vale \Phi(-z)=1-\Phi(z). Vou explicar isso: a área à esquerda de -z é igual à área à direita de z, e a área à direita de z é 1-\Phi(z), logo \Phi(-z)=1-\Phi(z).

Passo 3

Usando \Phi(-z)=1-\Phi(z) na expressão do passo anterior:
P(-z<Z<z)=\Phi(z)-[1-\Phi(z)]=2\Phi(z)-1.
Queremos 2\Phi(z)-1=0,95. Isolando \Phi(z) obtemos
\Phi(z)=\frac{0,95+1}{2}=0,975.
Portanto precisamos encontrar z tal que \Phi(z)=0,975.

Passo 4

Como usar a Appendix Table III de Montgomery (2006). Há duas formas comuns de tabela:
  • se a tabela dá \Phi(z)=P(Z\le z) diretamente (área acumulada à esquerda), procure o valor 0,975 na tabela e leia o correspondente z; ou
  • se a tabela dá a área entre 0 e z (ou seja P(0<Z<z)), então calcule P(0<Z<z)=\Phi(z)-0,5=0,975-0,5=0,475 e procure 0,475 na tabela para ler z.
Ambos os procedimentos dão o mesmo z. Na prática, na tabela padrão (Appendix Table III) o valor acumulado \Phi(z)=0,9750 corresponde a z=1,96 (lendo a linha 1,9 e a coluna 0,06 ou, se a tabela for a área do meio, o valor 0,4750 também corresponde a z=1,96).

Passo 5

Verificando numericamente sem calculadora (procedimento de leitura): na tabela padrão você encontra a entrada \Phi(1,96)=0,9750 (ou P(0<Z<1,96)=0,4750 se a tabela for intervalo central). Não é preciso interpolação porque coincide exatamente com a entrada tabulada. Assim concluímos que o valor buscado é z=1,96.

Resposta

z=1,96

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