Usando-se como referência o E^{3}, a seguir foram feitas algumas afirmações, cada uma delas identificada por um numeral distinto.
Para se medir o ângulo entre dois planos distintos \alpha e \beta, não paralelos, devemos escolher uma reta r qualquer contida em \alpha e medirmos o ângulo entre r e sua projeção ortogonal em \beta.

Passo 1

O enunciado está em \mathbb{E}^3 e diz que, para medir o ângulo entre dois planos distintos \alpha e \beta (não paralelos), basta escolher “uma reta r qualquer” em \alpha e medir o ângulo entre r e sua projeção ortogonal em \beta. O conteúdo é a definição de ângulo (diédrico) entre planos e propriedades de projeção ortogonal de reta em plano.

Passo 2

Lembrando a definição clássica do ângulo entre planos: sejam \alpha\cap\beta=\ell. Para definir o ângulo diédrico entre \alpha e \beta, escolhemos em cada plano uma reta perpendicular comum a \ell. O ângulo entre essas duas retas é o ângulo entre os planos. Alternativamente, podemos usar vetores normais \mathbf{n}_\alpha e \mathbf{n}_\beta e definir
\theta = \operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{\mathbf{n}_\alpha\cdot\mathbf{n}_\beta}{\|\mathbf{n}_\alpha\|\|\mathbf{n}_\beta\|}\biggr).

Passo 3

Se em vez de uma reta perpendicular a \ell eu pegar uma reta qualquer r\subset\alpha, a projeção ortogonal de r em \beta fornece um ângulo que depende da inclinação de r em relação a \ell. De fato, o ângulo entre r e sua projeção em \beta é justamente o ângulo entre r e o plano \beta, não necessariamente o ângulo diédrico entre \alpha e \beta. Só se r for perpendicular a \ell (isto é, contiver a direção que define o diedro) é que esse procedimento recupera o ângulo entre planos.

Passo 4

Portanto, não podemos escolher “uma reta qualquer” em \alpha; ela precisa ser perpendicular à reta de interseção \ell = \alpha\cap\beta. Como o enunciado diz “reta r qualquer”, ele está incorreto.

Resposta

A afirmação é falsa.

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