Usando a regra da cadeia, calcule d z / d t.
(e) z = arctan(x y), x = sen(t), y = cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular usando a regra da cadeia. A gente tem que lidar com funções compostas aqui: , onde e . Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia para achar a derivada buscada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas. Temos:
  • , onde
A regra da cadeia nos diz que para derivar em relação a , precisamos multiplicar a derivada de em relação a pela derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que a derivada de é:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos achar , onde . Vamos usar a regra do produto para derivar :
Sabemos que:
Então,

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo e :
Então,

Resposta

A derivada é:

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