Avalie a integral. integral0^raiz2 / 2 x^2raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para avaliarmos a integral definida . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente integrais que combinam funções polinomiais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição trigonométrica e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os limites de integração. Sabemos que . Então, a integral fica .

Passo 3

Observamos que a integral tem a forma , que sugere o uso de substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição . Com isso, e .

Passo 4

Alterando os limites de integração para :
  • Quando , então .
  • Quando , então .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral0^1 x^2raiz1-x^2 , dx = integral0^pi2 sin^2 thetacos theta cdot cos theta , dtheta = integral0^pi2 sin^2 theta , dtheta

Passo 6

Agora, precisamos calcular integral sin^2 theta , dtheta = integral 1 - cos 2theta2 , dtheta = 12 integral (1 - cos 2theta) , dtheta . Usamos a identidade trigonométrica :

Passo 7

Integrando termo a termo:
12 ( integral 1 , dtheta - integral cos 2theta , dtheta ) = 12 ( theta - sin 2theta2 ) + C
Mas como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 12 [ ( pi2 - sin pi2 ) - ( 0 - sin 02 ) ] = 12 ( pi2 - 0 - 0 + 0 ) = pi4 a :

Resposta

O valor da integral é .

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