Encontre partial z / partial u e partial z / partial v.
© z=x e^-y+y e^-x, x=u cos v, y=u sen v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função que temos é , onde e . Vamos usar cálculo multivariável e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever z = (u cos v) e^-u sin v + (u sin v) e^-u cos v em termos de e . Substituindo e :
Isso deixa totalmente em função de e , facilitando as próximas derivadas.

Passo 3

Agora, para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v , usamos a regra da cadeia. Ou seja, derivamos em relação a e tratando e como funções de e .
Primeiro, para :
E para :

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
Primeiro, achamos partial zpartial x = e^-y - y e^-x e partial zpartial y = -x e^-y + e^-x :
partial xpartial u = cos v
partial ypartial u = sin v
Agora, as derivadas de partial xpartial v = -u sin v e partial ypartial v = u cos v em relação a partial zpartial u = (e^-y - y e^-x) cos v + (-x e^-y + e^-x) sin v e partial zpartial v = (e^-y - y e^-x)(-u sin v) + (-x e^-y + e^-x)(u cos v) :
Substituindo tudo nas fórmulas das derivadas parciais:
Para :
E para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = cos v cdot e^-u sin v - u sin v cdot e^-u cos v + sin v cdot e^-u cos v - u cos v cdot e^-u sin v
partial zpartial v = -u sin v cdot e^-u sin v + u sin v cdot y e^-x + u cos v cdot (-x e^-y) + u cos v cdot e^-x

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