Usando a regra da cadeia, calcule as derivadas das funções compostas:
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{2 x^{2}+3 x+1}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{2x^{2}+3x+1}}
que é uma função composta. Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia, ou seja, decompor f em uma função interna g(x) e uma externa h(u), e depois multiplicar as derivadas conforme a cadeia exige. Também valerá a derivada de um polinômio simples.

Passo 2

Definimos
g(x)=2x^{2}+3x+1
e
h(u)=u^{-\tfrac{1}{3}}.
Assim, a função original pode ser escrita como
f(x)=h\bigl(g(x)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
A derivada de g é
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}+3x+1\bigr)=4x+3.
A derivada de h em termos de u é
h'(u)=\frac{d}{du}\bigl(u^{-\tfrac{1}{3}}\bigr)=-\tfrac{1}{3}\,u^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Substituindo g(x) e g'(x), fica
f'(x)=-\tfrac{1}{3}\,\bigl(g(x)\bigr)^{-\tfrac{4}{3}}\;(4x+3) =-\tfrac{1}{3}\,(2x^{2}+3x+1)^{-\tfrac{4}{3}}\;(4x+3).

Resposta

f'(x)=-\frac{4x+3}{3\,(2x^{2}+3x+1)^{\tfrac{4}{3}}}.

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