Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\operatorname{sen}^{2}(\cos \sqrt{\operatorname{sen} \pi x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{sen}^{2}\bigl(\cos\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr)\bigr)\!.
O conteúdo principal é a regra da cadeia, pois temos várias funções compostas: x\mapsto\pi x, depois seno, depois raiz, depois cosseno e finalmente ao quadrado de seno. Vamos quebrar essa composição em passos para aplicar a regra da cadeia de forma organizada.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias
g(x)=\pi x,\quad h(u)=\operatorname{sen}(u),\quad p(v)=\sqrt{v},\quad q(w)=\cos(w),\quad r(t)=\operatorname{sen}^{2}(t).
Assim
f(x)=r\bigl(q\bigl(p\bigl(h(g(x))\bigr)\bigr)\bigr).

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada nível:
g'(x)=\pi,
h'(u)=\cos(u),
p'(v)=\frac{1}{2\sqrt{v}},
q'(w)=-\operatorname{sen}(w),
r'(t)=2\operatorname{sen}(t)\cos(t).

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x) =r'\bigl(q(p(h(g(x))))\bigr)\,\cdot\,q'\bigl(p(h(g(x)))\bigr)\,\cdot\,p'\bigl(h(g(x))\bigr)\,\cdot\,h'\bigl(g(x)\bigr)\,\cdot\,g'(x).
Substituindo e notando
g(x)=\pi x,\quad h(g(x))=\operatorname{sen}(\pi x),\quad p(h(g(x)))=\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)},
q(p(h(g(x))))=\cos\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr),
r\bigl(q(p(h(g(x))))\bigr)=\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr),
temos
f'(x) =2\operatorname{sen}\bigl(q\bigr)\cos\bigl(q\bigr) \;\times\; \bigl(-\operatorname{sen}(p)\bigr) \;\times\; \frac{1}{2\sqrt{h}} \;\times\; \cos(g) \;\times\; \pi.

Passo 5

Cancelando o 2 do numerador e do denominador e recolhendo o sinal negativo, obtemos
f'(x) =-\pi\;\operatorname{sen}\!\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\; \cos\!\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\; \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}}\; \cos(\pi x).

Resposta

f'(x) =-\pi\,\operatorname{sen}\!\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\, \cos\!\bigl(\cos(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)})\bigr)\, \frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}\bigr)}{\sqrt{\operatorname{sen}(\pi x)}}\, \cos(\pi x).

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