Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=\operatorname{tg}^{2}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\tan^{2}(3x)
usando a regra da cadeia. O conteúdo principal aqui é diferenciar uma função composta, sabendo que a derivada de \tan(u) em relação a u é \operatorname{sec}^{2}(u), e que a derivada de u^2 em relação a u é 2u.

Passo 2

Identificamos as duas camadas de funções compostas:
– A função externa h(t)=t^2.
– A função interna t(x)=\tan(3x).
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'(t(x))\cdot t'(x).

Passo 3

Calculamos h'(t). Como h(t)=t^2, temos
h'(t)=2t,
portanto
h'(t(x))=2\,\tan(3x).

Passo 4

Agora calculamos t'(x). Primeiro note que t(x)=\tan(u) com u=3x. Aplicando a regra da cadeia novamente:
\frac{d}{dx}\tan(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot u' \quad\text{e}\quad u'=3.
Logo,
t'(x)=\operatorname{sec}^{2}(3x)\cdot 3 = 3\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

Passo 5

Juntando os resultados pela regra da cadeia:
f'(x)=\bigl(2\,\tan(3x)\bigr)\cdot\bigl(3\,\operatorname{sec}^{2}(3x)\bigr) =6\,\tan(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

Resposta

f'(x)=6\,\tan(3x)\,\operatorname{sec}^{2}(3x).

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