Usando a regra da cadeia, calcule f^{\prime}(x) onde f(x) é igual a:
f(x)=e^{-5 x} \cdot \cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{-5x}\,\cos(3x)
usando as regras do produto e da cadeia. Vamos identificar as duas funções envolvidas e aplicar primeiro a cadeia em cada uma, depois a regra do produto.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{-5x}
e
v(x)=\cos(3x).
Assim, f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia para a exponencial. Como u(x)=e^{g(x)} com g(x)=-5x, temos
u'(x)=e^{g(x)}\,g'(x)=e^{-5x}\cdot(-5)=-5\,e^{-5x}.

Passo 4

Calculamos v'(x) usando a regra da cadeia para o cosseno. Como v(x)=\cos(h(x)) com h(x)=3x, temos
v'(x)=-\sin(h(x))\,h'(x)=-\sin(3x)\cdot3=-3\,\sin(3x).

Passo 5

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v',
f'(x)=\bigl(-5\,e^{-5x}\bigr)\cos(3x)+e^{-5x}\bigl(-3\,\sin(3x)\bigr).

Passo 6

Fatoramos e^{-5x} em evidência para simplificar:
f'(x)=e^{-5x}\Bigl(-5\cos(3x)-3\sin(3x)\Bigr)
ou equivalentemente
f'(x)=-e^{-5x}\bigl(5\cos(3x)+3\sin(3x)\bigr).

Resposta

f'(x)=-e^{-5x}\bigl(5\cos(3x)+3\sin(3x)\bigr).

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