Encontre os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado define
e pede os pontos críticos de
.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo parte II (derivação de integral com limite dependente de ) e a resolução de equações para encontrar onde
ou não existe.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo parte II (derivação de integral com limite dependente de
Passo 2
Antes de derivar, identificamos o domínio de
. A integral está em
e o integrando
e
exigem
. Como o limite superior é
, precisamos de
Logo
está definido para
ou
.
Passo 3
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para obter
:
Passo 4
Os pontos críticos satisfazem
ou onde
não existe. Da expressão
temos duas possibilidades:
-
; , mas não pertence ao domínio de . -
. Definindo , multiplicamos por :
Isso dá
ou
, ou seja
ou
.
Passo 5
Verificamos onde
poderia não existir: o único ponto problemático seria
(denominador
), mas já vimos que
não está no domínio.
Portanto os pontos críticos de são
Portanto os pontos críticos de
Resposta
Os pontos críticos de
são
,
,
e
.