Encontre os pontos críticos da função
g(x)=\int_{0,5}^{x^{2}}\left(\sqrt{t}-3+\frac{2}{\sqrt{t}}\right) d t

Passo 1

O enunciado define
g(x)=\int_{0,5}^{x^{2}}\Bigl(\sqrt{t}-3+\tfrac{2}{\sqrt{t}}\Bigr)\,dt
e pede os pontos críticos de g.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo parte II (derivação de integral com limite dependente de x) e a resolução de equações para encontrar onde g'(x)=0 ou não existe.

Passo 2

Antes de derivar, identificamos o domínio de g. A integral está em [0,5,x^{2}] e o integrando \sqrt{t} e 1/\sqrt{t} exigem t>0. Como o limite superior é x^{2}, precisamos de
x^{2}\ge0,5\quad\Longrightarrow\quad |x|\ge\sqrt{0,5}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo g está definido para x\le -\tfrac{\sqrt2}{2} ou x\ge \tfrac{\sqrt2}{2}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para obter g'(x):
g'(x) =\Bigl[\sqrt{x^{2}}-3+\frac{2}{\sqrt{x^{2}}}\Bigr]\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}) =\bigl(|x|-3+\tfrac{2}{|x|}\bigr)\cdot2x.

Passo 4

Os pontos críticos satisfazem g'(x)=0 ou onde g'(x) não existe. Da expressão
g'(x)=2x\bigl(|x|-3+\tfrac{2}{|x|}\bigr),
temos duas possibilidades:
  1. 2x=0; \Longrightarrow x=0, mas x=0 não pertence ao domínio de g.
  2. |x|-3+\tfrac{2}{|x|}=0. Definindo u=|x|, multiplicamos por u:
u^{2}-3u+2=0 \quad\Longrightarrow\quad u=1\\ \text{ou}\\ u=2.
Isso dá |x|=1 ou |x|=2, ou seja x=\pm1 ou x=\pm2.

Passo 5

Verificamos onde g'(x) poderia não existir: o único ponto problemático seria x=0 (denominador |x|), mas já vimos que 0 não está no domínio.
Portanto os pontos críticos de g são
x=-2,\;-1,\;1,\;2.

Resposta

Os pontos críticos de g são x=-2, x=-1, x=1 e x=2.

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