Usando a regra da cadeia, determine \frac{d z}{d t} nos itens abaixo.
z=e^{x y}, x=t+t^{2}, y=\sqrt{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{dz}{dt} usando a regra da cadeia, onde
z = e^{x\,y},\quad x = t + t^{2},\quad y = \sqrt{t}.
O conteúdo envolvido é a derivada de função composta de várias variáveis, e vamos precisar de \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} e das derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas de x(t) e y(t):
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t + t^{2}\bigr) = 1 + 2t,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^{1/2}\bigr) = \tfrac{1}{2}\,t^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 3

Agora, obtemos as derivadas parciais de z(x,y)=e^{x\,y}:
\frac{\partial z}{\partial x} = y\,e^{x\,y} = y\,z,
\frac{\partial z}{\partial y} = x\,e^{x\,y} = x\,z.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituindo todos os termos:
\frac{dz}{dt} = e^{x\,y}\,\bigl[y\,(1+2t)\bigr] + e^{x\,y}\,\bigl[x\,\tfrac{1}{2\sqrt{t}}\bigr] = e^{x\,y}\Bigl(y(1+2t)+\frac{x}{2\sqrt{t}}\Bigr),
lembrando que x=t+t^2 e y=\sqrt{t}.

Passo 6

Vamos simplificar o parêntese:
y(1+2t)=\sqrt{t}+2t^{3/2}, \quad \frac{x}{2\sqrt{t}} =\frac{t+t^2}{2\sqrt{t}} =\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{t}+t^{3/2}\bigr).
Somando:
\sqrt{t}+2t^{3/2}+\tfrac{1}{2}\sqrt{t}+\tfrac{1}{2}t^{3/2} =\frac{3}{2}\sqrt{t}+\frac{5}{2}t^{3/2}.

Passo 7

Logo
\frac{dz}{dt} = e^{(t+t^2)\sqrt{t}}\;\Bigl(\tfrac{3}{2}\sqrt{t}+\tfrac{5}{2}t^{3/2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,e^{(t+t^2)\sqrt{t}}\,\sqrt{t}\,(3+5t).

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{1}{2}\,e^{(t+t^2)\sqrt{t}}\,\sqrt{t}\,(3+5t).

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