Usando a regra da cadeia, determine \frac{d z}{d t} nos itens abaixo.
z=y \cos \left(1+x^{3}\right), x=1-t^{2}, y=\operatorname{sen}\left(t^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede \frac{dz}{dt} para
z = y \cos\bigl(1 + x^3\bigr), \quad x = 1 - t^2, \quad y = \operatorname{sen}\bigl(t^5\bigr).
O conteúdo principal é aplicação da regra da cadeia (e, na forma mista, também da regra do produto).

Passo 2

Trataremos z como função de duas variáveis x e y, cada uma dependendo de t. A regra de derivação implícita (ou produto + cadeia) dá:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}.
Como z = y\cos\bigl(1 + x^3\bigr), temos
\frac{\partial z}{\partial y} = \cos\bigl(1 + x^3\bigr), \quad \frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \bigl(-\operatorname{sen}\bigl(1 + x^3\bigr)\bigr)\cdot 3x^2.

Passo 3

Calculamos agora dy/dt e dx/dt:
x = 1 - t^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{dt} = -2t,
y = \operatorname{sen}\bigl(t^5\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt} = \cos\bigl(t^5\bigr)\cdot 5t^4.

Passo 4

Substituindo em
\frac{dz}{dt} = \cos\bigl(1 + x^3\bigr)\cdot \frac{dy}{dt} \;+\; \bigl[-3x^2\,y\,\operatorname{sen}\bigl(1 + x^3\bigr)\bigr]\cdot \frac{dx}{dt},
obtemos, trocando x e y por suas expressões em t:
\frac{dz}{dt} = \cos\bigl(1 + (1 - t^2)^3\bigr)\cdot \bigl(5t^4\cos(t^5)\bigr) \;-\; 3\,(1 - t^2)^2\;\operatorname{sen}\bigl(1 + (1 - t^2)^3\bigr)\;\bigl(\operatorname{sen}(t^5)\bigr)\;(-2t).

Passo 5

Simplificando o sinal no segundo termo:
\frac{dz}{dt} = 5t^4\cos(t^5)\,\cos\bigl(1 + (1 - t^2)^3\bigr) \;+\; 6t\,(1 - t^2)^2\;\operatorname{sen}(t^5)\,\operatorname{sen}\bigl(1 + (1 - t^2)^3\bigr).

Resposta

\boxed{ \frac{dz}{dt} = 5t^4\cos\bigl(t^5\bigr)\,\cos\bigl(1 + (1 - t^2)^3\bigr) \;+\; 6t\,(1 - t^2)^2\,\operatorname{sen}\bigl(t^5\bigr)\,\operatorname{sen}\bigl(1 + (1 - t^2)^3\bigr) }.

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