Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
(d) z=e^{z y}, x=3 t+1, y=t^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a variável z definida implicitamente por
z = e^{z\,y},
onde x e y são funções de t dadas por
x=3t+1,\qquad y=t^2.
Queremos \dfrac{dz}{dt}. O enunciado menciona ainda \dfrac{dw}{dt}, mas não fornece nenhuma definição para w, portanto só podemos achar \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da igualdade z = e^{z\,y} em relação a t. No lado esquerdo obtemos
\frac{d}{dt}[\,z\,]=\frac{dz}{dt}.
No lado direito aplicamos a regra da cadeia: se u=z\,y, então
\frac{d}{dt}\bigl(e^{u}\bigr) = e^{u}\,\frac{du}{dt} = e^{z\,y}\,\bigl(y\,\frac{dz}{dt} + z\,\frac{dy}{dt}\bigr).

Passo 3

Logo a diferenciação implícita nos dá
\frac{dz}{dt} = e^{z\,y}\,\Bigl(y\,\frac{dz}{dt} + z\,\frac{dy}{dt}\Bigr).
Mas como e^{z\,y}=z (pela própria definição), substituímos para obter
\frac{dz}{dt} = z\Bigl(y\,\frac{dz}{dt} + z\,\frac{dy}{dt}\Bigr) = zy\,\frac{dz}{dt} + z^2\,\frac{dy}{dt}.

Passo 4

Isolamos \dfrac{dz}{dt}:
\frac{dz}{dt} - zy\,\frac{dz}{dt} = z^2\,\frac{dy}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dt}\,(1 - zy) = z^2\,\frac{dy}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dz}{dt} = \frac{z^2}{1 - zy}\,\frac{dy}{dt}.
Como y=t^2, temos \dfrac{dy}{dt}=2t. Logo
\boxed{ \frac{dz}{dt} = \frac{2t\,z^2}{1 - z\,y} }.

Passo 5

Não é possível calcular \dfrac{dw}{dt} pois o enunciado não define a função w.

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{2t\,z^2}{1-zy}. \displaystyle \frac{dw}{dt} não pode ser determinado pois w não foi especificado.

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