Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
(e) z=z^{2} \cos (y)-x, x=z^{2}, y=\frac{1}{6}

Passo 1

O enunciado nos dá
z = f(x,y) = x^{2}\cos(y) - x,
com
x = t^{2},\qquad y = \tfrac{1}{6}\,t.
Queremos \displaystyle \frac{dz}{dt}. Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de z.
Para \partial z/\partial x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\cos(y)-x\bigr) = 2x\cos(y)\;-\;1.
Para \partial z/\partial y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\cos(y)-x\bigr) = x^{2}\,\bigl(-\sin(y)\bigr) = -\,x^{2}\sin(y).

Passo 3

Agora as derivadas em cadeia de x(t) e y(t):
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(t^{2}\bigr) = 2t, \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{1}{6}\,t\Bigr) = \tfrac{1}{6}.

Passo 4

Substituímos tudo na fórmula da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \bigl(2x\cos(y)-1\bigr)\,(2t) \;+\;\bigl(-x^{2}\sin(y)\bigr)\,\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr).
E em seguida colocamos x = t^{2} e y = t/6:
\frac{dz}{dt} = \bigl(2\,t^{2}\cos\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr)-1\bigr)\,2t \;-\;\tfrac{1}{6}\,\bigl(t^{2}\bigr)^{2}\,\sin\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr).

Passo 5

Simplificando,
\frac{dz}{dt} = 4t^{3}\cos\!\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr) -2t -\tfrac{1}{6}\,t^{4}\sin\!\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt} = 4t^{3}\cos\!\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr) -2t -\tfrac{1}{6}t^{4}\sin\!\bigl(\tfrac{t}{6}\bigr).

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