Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
(h) w=e^{-z} y^{2} \operatorname{sen}(z), x=t, y=2 t, z=3 t

Passo 1

O enunciado dá as funções parametrizadas \;x(t)=t,\quad y(t)=2t,\quad z(t)=3t
e a função
w(x,y,z)=e^{-z}\,y^{2}\sin(z).
Queremos calcular \dfrac{dz}{dt} e \dfrac{dw}{dt} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Como z(t)=3t, a derivada de z em relação a t é imediata:
\frac{dz}{dt}=3.

Passo 3

Pela regra da cadeia para w(x,y,z) temos
\frac{dw}{dt} =\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} +\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} +\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{dz}{dt}.
Aqui w não depende de x explicitamente, logo \partial w/\partial x=0.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e as derivadas dos parâmetros:
\frac{\partial w}{\partial y} =e^{-z}\cdot 2y\sin(z), \quad \frac{\partial w}{\partial z} =-e^{-z}y^{2}\sin(z) +e^{-z}y^{2}\cos(z),
\frac{dx}{dt}=1, \quad \frac{dy}{dt}=2, \quad \frac{dz}{dt}=3.

Passo 5

Substituindo em \dfrac{dw}{dt}:
\frac{dw}{dt} =0\cdot1 +\bigl(e^{-z}2y\sin(z)\bigr)\cdot2 +\bigl(-e^{-z}y^{2}\sin(z)+e^{-z}y^{2}\cos(z)\bigr)\cdot3.
Isso dá
\frac{dw}{dt} =4y\,e^{-z}\sin(z) -3y^{2}e^{-z}\sin(z) +3y^{2}e^{-z}\cos(z).
Finalmente, substituindo y=2t e z=3t:
\frac{dw}{dt} =8t\,e^{-3t}\sin(3t) -12t^{2}e^{-3t}\sin(3t) +12t^{2}e^{-3t}\cos(3t).

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=3, \displaystyle \frac{dw}{dt} =8t\,e^{-3t}\sin(3t) -12t^{2}e^{-3t}\sin(3t) +12t^{2}e^{-3t}\cos(3t).

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