Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) e w=f(x, y, z), calcule \frac{d z}{d t} e \frac{d w}{d t} :
(f) z=\ln (x)+\ln (y)+x y, x=e^{t}, y=e^{-z}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos
z = \ln(x) + \ln(y) + x\,y, \quad x = e^t, \quad y = e^{-z}.
Queremos encontrar \dfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia, sabendo que tanto x como y dependem de t, e ainda y depende de z.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas de x e de y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(e^t\bigr) = e^t = x,
\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(e^{-z}\bigr) = e^{-z}\,\frac{d(-z)}{dt} = -\,e^{-z}\,\frac{dz}{dt} = -\,y\,\frac{dz}{dt}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia a \;z = \ln(x) + \ln(y) + x\,y\;:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln x)\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial}{\partial y}(\ln y)\,\frac{dy}{dt} + \frac{\partial}{\partial x}(x y)\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial}{\partial y}(x y)\,\frac{dy}{dt}.
Os parciais são \partial_x\ln x = 1/x, \partial_y\ln y = 1/y, \partial_x(xy)=y, \partial_y(xy)=x.
Logo
\frac{dz}{dt} = \frac{1}{x}\,x + \frac{1}{y}\,\Bigl(-y\,\frac{dz}{dt}\Bigr) + y\,x + x\,\Bigl(-y\,\frac{dz}{dt}\Bigr).

Passo 4

Simplificando a expressão:
\frac{dz}{dt} = 1 - \frac{dz}{dt} + x\,y - x\,y\,\frac{dz}{dt}.
Agrupando os termos com \dfrac{dz}{dt} no lado esquerdo:
\frac{dz}{dt} + \frac{dz}{dt} + x\,y\,\frac{dz}{dt} = 1 + x\,y \quad\Longrightarrow\quad \bigl(2 + x\,y\bigr)\,\frac{dz}{dt} = 1 + x\,y.
Portanto
\frac{dz}{dt} = \frac{1 + x\,y}{2 + x\,y}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{1 + x\,y}{2 + x\,y}, \quad\text{onde }x=e^t,\;y=e^{-z}.

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