1. Encontre y(k) para a Y(z) abaixo: ( \mathbf{3 , 0} Pontos)
Y(z)=\frac{z^{3}-2 z^{2}-z}{(z-1)^{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar y(k) — a sequência no domínio do tempo — cuja transformada em z é
Y(z)=\frac{z^{3}-2 z^{2}-z}{(z-1)^{3}}.
Informações / observações dadas:
\text{numerador}:\; z^{3}-2 z^{2}-z, \qquad \text{denominador}:\; (z-1)^{3}.
(O enunciado fornece apenas Y(z); a interpretação usual é procurar a sequência causal y(k) para k\ge0.)

Passo 2

Tática inicial (ação matemática): como o numerador e o denominador têm o mesmo grau ( 3), faço divisão polinomial para separar a parte polinomial (que gera impulsos deslocados) da parte propriamente racional com polo em z=1. Faço
(z-1)^{3}=z^{3}-3z^{2}+3z-1.
Agora calculo o quociente e resto de
\frac{z^{3}-2z^{2}-z}{z^{3}-3z^{2}+3z-1}.
Como os graus são iguais o quociente é 1. Subtraio:
(z^{3}-2z^{2}-z) - (z^{3}-3z^{2}+3z-1) = z^{2}-4z+1.
Logo
Y(z)=1+\frac{z^{2}-4z+1}{(z-1)^{3}}.

Passo 3

Faço decomposição da parte racional em potências de (z-1)\). Procuro constantes \(A,B,C\) tais que \[\frac{z^{2}-4z+1}{(z-1)^{3}}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^{2}}+\frac{C}{(z-1)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)^{3} obtenho a identidade polinomial
z^{2}-4z+1 = A(z-1)^{2} + B(z-1) + C.
Expando a direita:
A(z^{2}-2z+1) + B(z-1) + C = A z^{2} +(-2A+B)z + (A - B + C).
Igualando coeficientes obtém-se o sistema
\begin{cases} A = 1,\\[4pt] -2A + B = -4,\\[4pt] A - B + C = 1. \end{cases}
Substituindo (A=1]:
\begin{cases} -2(1) + B = -4 \Rightarrow B = -2,\\[4pt] 1 - (-2) + C = 1 \Rightarrow 3 + C = 1 \Rightarrow C = -2. \end{cases}
Portanto
\frac{z^{2}-4z+1}{(z-1)^{3}}=\frac{1}{z-1}-\frac{2}{(z-1)^{2}}-\frac{2}{(z-1)^{3}}
e, juntando com a parte polinomial,
Y(z)=1+\frac{1}{z-1}-\frac{2}{(z-1)^{2}}-\frac{2}{(z-1)^{3}}.]

Passo 4

Agora precisamos passar cada termo para o domínio do tempo. Vou usar fórmulas padrão da transformada em z (unilateral, X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x[k] z^{-k}) e a propriedade de linearidade. As fórmulas que vou usar e como obtê-las:
Definição: \displaystyle X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x[k] z^{-k}.
Propriedade derivada (útil para potências de k): se X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x[k] z^{-k} então
\sum_{k=0}^{\infty} k\,x[k] z^{-k} = -z\frac{d}{dz}X(z),
e derivando de novo obtemos expressões para k^{2}x[k]. Com isso, ou usando fórmulas conhecidas para a série geométrica e suas derivadas, temos as transformadas (para a=1):
  • \displaystyle Z\{1\}=\sum_{k=0}^{\infty} 1\cdot z^{-k}=\frac{z}{z-1}.
  • \displaystyle Z\{k\}=\sum_{k=0}^{\infty} k\,z^{-k}=\frac{z}{(z-1)^{2}}.
    (pode-se obter derivando a série geométrica com a propriedade acima.)
  • \displaystyle Z\{k^{2}\}=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} z^{-k}=\frac{z(z+1)}{(z-1)^{3}}.
    (obtém-se derivando duas vezes ou usando relação entre derivadas sucessivas.)
Essas três fórmulas são fundamentais e o que elas significam: cada expressão do tipo \dfrac{z(\cdots)}{(z-1)^{m}} corresponde à transformada de uma sequência polinomial in k multiplicada por 1^{k} (ou seja, sem fator exponencial), para k\ge0.

Passo 5

Observação útil e atalho: pólos apenas em z=1\) de ordem até \(3\) indicam que \(y(k)\) é um polinômio em \(k\) de grau no máximo \(2\) (multiplicado por \(u[k]\)). Assim podemos tentar escrever \[y(k)=A k^{2}+B k + C,\qquad k\ge0,
e usar as fórmulas de transformada acima para achar A,B,C.
Calculo Z\{y(k)\} a partir da suposição:
Z\{y(k)\} = A\;Z\{k^{2}\} + B\;Z\{k\} + C\;Z\{1\}.
Substituindo as fórmulas:
Z\{y(k)\} = A\frac{z(z+1)}{(z-1)^{3}} + B\frac{z}{(z-1)^{2}} + C\frac{z}{z-1}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador (z-1)^{3} e escrevo o numerador combinado:
\text{numerador} = C z^{3} + (A+B-2C) z^{2} + (A - B + C) z.
Queremos que isso seja igual ao numerador de Y(z), que é z^{3}-2z^{2}-z. Assim imponho igualdade termo a termo:
\begin{cases} C = 1,\\[4pt] A + B - 2C = -2,\\[4pt] A - B + C = -1. \end{cases}
Com C=1\] as duas últimas equações ficam \[\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] A - B = -2. \end{cases}\] Somando e subtraindo resolvo \(A e B:
2A = -2 \Rightarrow A = -1,\qquad B = -A = 1.]

Passo 6

Concluo que a sequência é o polinômio encontrado para k\ge0:
y(k)=A k^{2} + B k + C = -k^{2} + k + 1,\qquad k\ge0.
Se quiser escrever explicando o suporte (causalidade):
y(k)=\bigl(-k^{2}+k+1\bigr)\,u[k],
onde u[k] é a escada (unit step).

Resposta

\displaystyle y(k)=-k^{2}+k+1,\quad k\ge0

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