(O enunciado fornece apenas Y(z); a interpretação usual é procurar a sequência causal y(k) para k\ge0.)
Passo 2
Tática inicial (ação matemática): como o numerador e o denominador têm o mesmo grau (3), faço divisão polinomial para separar a parte polinomial (que gera impulsos deslocados) da parte propriamente racional com polo em z=1. Faço
(z-1)^{3}=z^{3}-3z^{2}+3z-1.
Agora calculo o quociente e resto de
\frac{z^{3}-2z^{2}-z}{z^{3}-3z^{2}+3z-1}.
Como os graus são iguais o quociente é 1. Subtraio:
Faço decomposição da parte racional em potências de (z-1)\). Procuro constantes \(A,B,C\) tais que
\[\frac{z^{2}-4z+1}{(z-1)^{3}}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{(z-1)^{2}}+\frac{C}{(z-1)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)^{3} obtenho a identidade polinomial
z^{2}-4z+1 = A(z-1)^{2} + B(z-1) + C.
Expando a direita:
A(z^{2}-2z+1) + B(z-1) + C = A z^{2} +(-2A+B)z + (A - B + C).
Igualando coeficientes obtém-se o sistema
\begin{cases} A = 1,\\[4pt] -2A + B = -4,\\[4pt] A - B + C = 1. \end{cases}
Substituindo (A=1]: \begin{cases} -2(1) + B = -4 \Rightarrow B = -2,\\[4pt] 1 - (-2) + C = 1 \Rightarrow 3 + C = 1 \Rightarrow C = -2. \end{cases}
Portanto \frac{z^{2}-4z+1}{(z-1)^{3}}=\frac{1}{z-1}-\frac{2}{(z-1)^{2}}-\frac{2}{(z-1)^{3}}
e, juntando com a parte polinomial, Y(z)=1+\frac{1}{z-1}-\frac{2}{(z-1)^{2}}-\frac{2}{(z-1)^{3}}.]
Passo 4
Agora precisamos passar cada termo para o domínio do tempo. Vou usar fórmulas padrão da transformada em z (unilateral, X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x[k] z^{-k}) e a propriedade de linearidade. As fórmulas que vou usar e como obtê-las:
e derivando de novo obtemos expressões para k^{2}x[k]. Com isso, ou usando fórmulas conhecidas para a série geométrica e suas derivadas, temos as transformadas (para a=1):
\displaystyle Z\{k\}=\sum_{k=0}^{\infty} k\,z^{-k}=\frac{z}{(z-1)^{2}}.
(pode-se obter derivando a série geométrica com a propriedade acima.)
\displaystyle Z\{k^{2}\}=\sum_{k=0}^{\infty} k^{2} z^{-k}=\frac{z(z+1)}{(z-1)^{3}}.
(obtém-se derivando duas vezes ou usando relação entre derivadas sucessivas.)
Essas três fórmulas são fundamentais e o que elas significam: cada expressão do tipo \dfrac{z(\cdots)}{(z-1)^{m}} corresponde à transformada de uma sequência polinomial in k multiplicada por 1^{k} (ou seja, sem fator exponencial), para k\ge0.
Passo 5
Observação útil e atalho: pólos apenas em z=1\) de ordem até \(3\) indicam que \(y(k)\) é um polinômio em \(k\) de grau no máximo \(2\) (multiplicado por \(u[k]\)). Assim podemos tentar escrever
\[y(k)=A k^{2}+B k + C,\qquad k\ge0,
e usar as fórmulas de transformada acima para achar A,B,C.