Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}

Passo 1

O enunciado dá a função no numerador e pede o limite quando x tende a 0:
  • Expressão dada: \dfrac{e^{x}-e^{-x}}{x}.
  • Pergunta: calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{x}.

Passo 2

Teste de substituição direta para ver o tipo de indeterminação:
  • Numerador em x=0: e^{0}-e^{0}=1-1=0.
  • Denominador em x=0: 0.
    Portanto a forma é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso autoriza usar a Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam numa vizinhança de 0).

Passo 3

O que diz a Regra de L’Hôpital (explicação curta e prática):
  • Se \displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} tem forma indeterminada \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty},
  • e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq 0 perto de a,
  • então \displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle\lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}, se esse limite existir.
    Aqui f(x)=e^{x}-e^{-x} e g(x)=x; ambas são diferenciáveis para todos x, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias (explicando cada passo):
  • Derivada de e^{x} em relação a x é e^{x}. Em geral, \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.
  • Derivada de e^{-x} é -e^{-x} (pois aqui a=-1 -1\cdot e^{-x}).
  • Logo a derivada do numerador f(x)=e^{x}-e^{-x} é
f'(x)=\dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\big)-\dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)=e^{x}-\big(-e^{-x}\big)=e^{x}+e^{-x}.
  • Derivada do denominador g(x)=x é
g'(x)=1.

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hôpital e avaliar o limite:
  • Segundo L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{1}=\lim_{x\to 0}\big(e^{x}+e^{-x}\big).
  • Avaliando em x=0:
e^{0}+e^{0}=1+1=2.
Portanto o limite vale 2.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido e incentivo:
  • Intuitivamente, o numerador é uma função ímpar aproximada por 2x para x pequeno (porque e^{x}-e^{-x}=2\operatorname{sinh} x e \operatorname{sinh} x\approx x quando x é pequeno), então o quociente tende a 2. Mas a aplicação direta de L’Hôpital como fizemos é segura e simples.
  • Bom trabalho até aqui! Essa técnica aparece muito em provas; repetir esse passo a passo ajuda a fixar.

Resposta

2

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