Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função no numerador e pede o limite quando
tende a
:
- Expressão dada:
. - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Teste de substituição direta para ver o tipo de indeterminação:
- Numerador em
: . - Denominador em
: .
Portanto a forma é, que é uma indeterminação. Isso autoriza usar a Regra de L’Hôpital (desde que as derivadas existam numa vizinhança de ).
Passo 3
O que diz a Regra de L’Hôpital (explicação curta e prática):
- Se
tem forma indeterminada ou , - e se
e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ) e perto de , - então
, se esse limite existir.
Aquie ; ambas são diferenciáveis para todos , então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias (explicando cada passo):
- Derivada de
em relação a é . Em geral, . - Derivada de
é (pois aqui dá ). - Logo a derivada do numerador
é
- Derivada do denominador
é
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hôpital e avaliar o limite:
- Segundo L’Hôpital,
- Avaliando em
:
Portanto o limite vale
.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido e incentivo:
- Intuitivamente, o numerador é uma função ímpar aproximada por
para pequeno (porque e quando é pequeno), então o quociente tende a . Mas a aplicação direta de L’Hôpital como fizemos é segura e simples. - Bom trabalho até aqui! Essa técnica aparece muito em provas; repetir esse passo a passo ajuda a fixar.