Ache o comprimento de arco da curva y=\frac{1}{12} x^{3}+x^{-1} do ponto em que x=1 ao ponto em que x=3.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva \displaystyle y=\frac{1}{12}x^{3}+x^{-1} entre os pontos onde x=1 e x=3.
Informações dadas (diretas do enunciado):
  • A função é \displaystyle y=\frac{1}{12}x^{3}+x^{-1}.
  • O intervalo em x é de x=1 até x=3.
  • O objetivo é calcular o comprimento de arco da curva nesse intervalo.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação intuitiva):
  • Se y=f(x) é diferenciável, um pequeno segmento de curva entre x e x+dx tem comprimento aproximado pela hipotenusa do triângulo com catetos dx e dy=f'(x)\,dx. Pela fórmula de Pitágoras o comprimento diferencial é
\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\;dx.
  • Portanto o comprimento total entre x=a e x=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx.
Aqui f'(x) é a derivada de f em relação a x; dx é o elemento de variação em x.

Passo 3

Calcular a derivada da função dada:
  • Derivada de \displaystyle \frac{1}{12}x^{3} é \displaystyle \frac{1}{12}\cdot 3x^{2}=\frac{1}{4}x^{2}.
  • Derivada de \displaystyle x^{-1} é \displaystyle -x^{-2}.
    Assim
y'=\frac{1}{4}x^{2}-x^{-2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle 1+(y')^{2} e simplificar:
Primeiro expanding:
(y')^{2}=\left(\frac{1}{4}x^{2}-x^{-2}\right)^{2} =\frac{1}{16}x^{4}-\frac{1}{2}+x^{-4}.
Somando 1:
1+(y')^{2}=\frac{1}{16}x^{4}+\frac{1}{2}+x^{-4}.
Note que essa expressão é exatamente o quadrado de \displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+x^{-2}, pois
\left(\frac{1}{4}x^{2}+x^{-2}\right)^{2} =\frac{1}{16}x^{4}+\frac{1}{2}+x^{-4}.
Portanto
1+(y')^{2}=\left(\frac{1}{4}x^{2}+x^{-2}\right)^{2}.

Passo 5

Substituir na integral e tratar a raiz quadrada:
\sqrt{1+(y')^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}x^{2}+x^{-2}\right)^{2}} =\left|\frac{1}{4}x^{2}+x^{-2}\right|.
No intervalo x\in[1,3] a quantidade \displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+x^{-2} é positiva, então o valor absoluto não altera o sinal. Assim a integral do comprimento fica
L=\int_{1}^{3}\left(\frac{1}{4}x^{2}+x^{-2}\right)\,dx.

Passo 6

Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{4}x^{2}\,dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{1}{12}x^{3}.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\int x^{-2}\,dx=-x^{-1}.
    Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{12}x^{3}-x^{-1}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites 1 e 3 e subtrair:
  • Calcular F(3):
F(3)=\frac{1}{12}\cdot 27 - \frac{1}{3}=\frac{27}{12}-\frac{1}{3}=\frac{9}{4}-\frac{1}{3}=\frac{27-4}{12}=\frac{23}{12}.
  • Calcular F(1):
F(1)=\frac{1}{12}\cdot 1 - 1=\frac{1}{12}-1=\frac{1-12}{12}=-\frac{11}{12}.
  • Subtrair:
L=F(3)-F(1)=\frac{23}{12}-\left(-\frac{11}{12}\right)=\frac{23+11}{12}=\frac{34}{12}=\frac{17}{6}.

Resposta

\dfrac{17}{6}

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