Ache o comprimento de arco da curva y=\frac{1}{12} x^{3}+x^{-1} do ponto em que x=1 ao ponto em que x=3.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva \displaystyle y=\frac{1}{12}x^{3}+x^{-1} entre os pontos onde x=1 e x=3.
Informações dadas (diretas do enunciado):
A função é \displaystyle y=\frac{1}{12}x^{3}+x^{-1}.
O intervalo em x é de x=1 até x=3.
O objetivo é calcular o comprimento de arco da curva nesse intervalo.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação intuitiva):
Se y=f(x) é diferenciável, um pequeno segmento de curva entre x e x+dx tem comprimento aproximado pela hipotenusa do triângulo com catetos dx e dy=f'(x)\,dx. Pela fórmula de Pitágoras o comprimento diferencial é
\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\;dx.
Portanto o comprimento total entre x=a e x=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx.
Aqui f'(x) é a derivada de f em relação a x; dx é o elemento de variação em x.
Passo 3
Calcular a derivada da função dada:
Derivada de \displaystyle \frac{1}{12}x^{3} é \displaystyle \frac{1}{12}\cdot 3x^{2}=\frac{1}{4}x^{2}.
Derivada de \displaystyle x^{-1} é \displaystyle -x^{-2}.
Assim
y'=\frac{1}{4}x^{2}-x^{-2}.
Passo 4
Calcular \displaystyle 1+(y')^{2} e simplificar:
Primeiro expanding:
No intervalo x\in[1,3] a quantidade \displaystyle \frac{1}{4}x^{2}+x^{-2} é positiva, então o valor absoluto não altera o sinal. Assim a integral do comprimento fica