Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo x=0, da região delimitada pela curva y=4 x-x^{2}, e pela reta y=x.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=0 (o eixo y), a região limitada pelas curvas y=4x-x^{2} e y=x.
Informações dadas:
Curva superior/um dos limites: y=4x-x^{2}.
Curva inferior/outro limite: y=x.
Eixo de rotação: x=0.
Região limitada pelas duas curvas (que se intersectam em dois pontos que precisam ser encontrados).
O que se pede: o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método e fórmula: para volumes por rotação há duas técnicas comuns — discos/arruelas (washers) e cascas cilíndricas (método das cascas). Vou explicar o método das cascas e por que ele é o mais direto aqui.
Ideia física e fórmula do método das cascas:
Imagine uma faixa vertical na região, localizada em abscissa x, de espessura \mathrm{d}x. Ao girar essa faixa em torno de x=0 ela gera uma casca cilíndrica fina.
O raio dessa casca (distância do eixo de rotação até a faixa) vale r(x)=|x-0|=x (aqui consideramos x\ge 0 na região relevante).
A altura da casca é a diferença entre as curvas top e bottom: h(x)= (curva superior) - (curva inferior).
A área lateral aproximada da casca é 2\pi \cdot r(x)\cdot h(x). Multiplicando pela espessura \mathrm{d}x obtemos o volume diferencial:
\mathrm{d}V = 2\pi\,r(x)\,h(x)\,\mathrm{d}x.
O volume total é a integral dessa expressão sobre o intervalo de x que define a região.
Por que escolhi cascas e não arruelas?
O eixo de rotação é vertical (x=0) e as curvas estão dadas como y=f(x). Isso torna o método das cascas natural: integra-se em x facilmente.
O método das arruelas exigiria escrever x como função de y (duas funções inversas possivelmente), o que dá mais trabalho aqui.
Passo 3
Determinar os limites de integração (pontos de interseção das curvas). Igualamos as duas curvas: