Calcule o volume do sólido gerado, pela rotação em torno do eixo x=0, da região delimitada pela curva y=4 x-x^{2}, e pela reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta x=0 (o eixo y), a região limitada pelas curvas y=4x-x^{2} e y=x.
Informações dadas:
  • Curva superior/um dos limites: y=4x-x^{2}.
  • Curva inferior/outro limite: y=x.
  • Eixo de rotação: x=0.
  • Região limitada pelas duas curvas (que se intersectam em dois pontos que precisam ser encontrados).
  • O que se pede: o volume do sólido de revolução gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método e fórmula: para volumes por rotação há duas técnicas comuns — discos/arruelas (washers) e cascas cilíndricas (método das cascas). Vou explicar o método das cascas e por que ele é o mais direto aqui.
Ideia física e fórmula do método das cascas:
  • Imagine uma faixa vertical na região, localizada em abscissa x, de espessura \mathrm{d}x. Ao girar essa faixa em torno de x=0 ela gera uma casca cilíndrica fina.
  • O raio dessa casca (distância do eixo de rotação até a faixa) vale r(x)=|x-0|=x (aqui consideramos x\ge 0 na região relevante).
  • A altura da casca é a diferença entre as curvas top e bottom: h(x)= (curva superior) - (curva inferior).
  • A área lateral aproximada da casca é 2\pi \cdot r(x)\cdot h(x). Multiplicando pela espessura \mathrm{d}x obtemos o volume diferencial:
\mathrm{d}V = 2\pi\,r(x)\,h(x)\,\mathrm{d}x.
  • O volume total é a integral dessa expressão sobre o intervalo de x que define a região.
Por que escolhi cascas e não arruelas?
  • O eixo de rotação é vertical ( x=0) e as curvas estão dadas como y=f(x). Isso torna o método das cascas natural: integra-se em x facilmente.
  • O método das arruelas exigiria escrever x como função de y (duas funções inversas possivelmente), o que dá mais trabalho aqui.

Passo 3

Determinar os limites de integração (pontos de interseção das curvas). Igualamos as duas curvas:
4x-x^{2} = x.
Resolver:
4x-x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad 3x - x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x(3-x)=0.
As soluções são x=0 e x=3. Portanto a região em x vai de 0 a 3.

Passo 4

Expressar a altura h(x) e o raio r(x) e montar a integral pelo método das cascas:
  • Raio: r(x)=x.
  • Altura: h(x)=(4x-x^{2})-x = 3x - x^{2}.
  • Volume:
V = \int_{x=0}^{x=3} 2\pi\,r(x)\,h(x)\,\mathrm{d}x = 2\pi \int_{0}^{3} x\bigl(3x - x^{2}\bigr)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Desenvolver a integral passo a passo:
Primeiro multiplicar o integrando:
x(3x - x^{2}) = 3x^{2} - x^{3}.
Logo
V = 2\pi \int_{0}^{3} \bigl(3x^{2} - x^{3}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Integrando termo a termo (lembrando as primitivas):
  • \displaystyle \int 3x^{2}\,\mathrm{d}x = x^{3} porque \int x^{2}\mathrm{d}x = \tfrac{1}{3}x^{3} e multiplicando por 3 x^{3}.
  • \displaystyle \int x^{3}\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{4}x^{4}.
Portanto a primitiva do integrando é
x^{3} - \tfrac{1}{4}x^{4}.
Aplicando os limites de 0 a 3:
V = 2\pi \Bigl[ x^{3} - \tfrac{1}{4}x^{4} \Bigr]_{0}^{3}.

Passo 6

Avaliar a expressão nos limites e simplificar:
Calcular no ponto x=3:
x^{3} - \tfrac{1}{4}x^{4}\Big|_{x=3} = 3^{3} - \tfrac{1}{4}\,3^{4} = 27 - \tfrac{1}{4}\cdot 81 = 27 - \tfrac{81}{4}.
Colocar em denominador comum:
27 - \tfrac{81}{4} = \tfrac{108}{4} - \tfrac{81}{4} = \tfrac{27}{4}.
Multiplicando por 2\pi:
V = 2\pi \cdot \tfrac{27}{4} = \tfrac{54}{4}\pi = \tfrac{27}{2}\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{2}\pi

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