Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • As duas parcelas são funções de x: \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{e^{x}-1}.
  • Quando x\to\infty tem-se \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{e^{x}-1}\to 0.
  • O limite é a diferença de duas quantidades que tendem a 0; isso não garante o resultado final sem análise. Vou manipular a expressão para aplicar um teorema de limites.

Passo 2

Coloco a expressão numa única fração para ter uma forma apropriada para análise:
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}=\frac{(e^{x}-1)-x}{x(e^{x}-1)}.
Detalhe das contas: o denominador comum é x(e^{x}-1). Numerador obtido por (e^{x}-1)-x.

Passo 3

Verifico o comportamento das partes da fração quando x\to\infty:
  • Numerador: e^{x}-1-x \to \infty porque e^{x} domina x.
  • Denominador: x(e^{x}-1)\to\infty.
    Portanto a expressão está na forma indeterminada \infty/\infty, logo podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis, o que é o caso aqui).
Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma prática): se \lim f(x)=\pm\infty e \lim g(x)=\pm\infty quando x\to a, e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a com g'(x)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite à direita existir.

Passo 4

Derivo numerador e denominador separadamente (mostrando as regras usadas):
  • Numerador N(x)=e^{x}-1-x. Derivada: N'(x)=e^{x}-1. (Derivada de e^{x} é e^{x}; de -1 é 0; de -x é -1.)
  • Denominador D(x)=x(e^{x}-1). Uso a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'. Aqui u=x e v=e^{x}-1. Então
D'(x)=1\cdot (e^{x}-1)+x\cdot e^{x}=(e^{x}-1)+x e^{x}.
Pelo L’Hôpital substituo:
\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}-1}{(e^{x}-1)+x e^{x}}.

Passo 5

Agora avalio o novo limite. Para simplificar, divido numerador e denominador por e^{x} (é uma técnica comum para lidar com termos exponenciais):
\frac{e^{x}-1}{(e^{x}-1)+x e^{x}} =\frac{1-e^{-x}}{1-e^{-x}+x}.
Quando x\to\infty temos e^{-x}\to 0, então o numerador tende a 1 e o denominador tende a 1+x, que vai para \infty. Assim a fração tende a 0:
\lim_{x\to\infty}\frac{1-e^{-x}}{1-e^{-x}+x}=0.

Passo 6

Conclusão: o limite procurado é 0. (Intuição rápida: \dfrac{1}{e^{x}-1} é muito menor que \dfrac{1}{x} para x grande, então a diferença fica parecida com \dfrac{1}{x} que tende a 0.)

Resposta

0

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