Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas e observações imediatas:
- As duas parcelas são funções de
: e . - Quando
tem-se e . - O limite é a diferença de duas quantidades que tendem a
; isso não garante o resultado final sem análise. Vou manipular a expressão para aplicar um teorema de limites.
Passo 2
Coloco a expressão numa única fração para ter uma forma apropriada para análise:
Detalhe das contas: o denominador comum é
. Numerador obtido por
.
Passo 3
Verifico o comportamento das partes da fração quando
:
- Numerador:
porque domina . - Denominador:
.
Portanto a expressão está na forma indeterminada, logo podemos aplicar a Regra de L’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis, o que é o caso aqui).
Explicando a Regra de L’Hôpital (de forma prática): se
e
quando
, e
são diferenciáveis numa vizinhança de
com
, então
se o limite à direita existir.
Passo 4
Derivo numerador e denominador separadamente (mostrando as regras usadas):
- Numerador
. Derivada: . (Derivada de é ; de é ; de é .) - Denominador
. Uso a regra do produto: . Aqui e . Então
Pelo L’Hôpital substituo:
Passo 5
Agora avalio o novo limite. Para simplificar, divido numerador e denominador por
(é uma técnica comum para lidar com termos exponenciais):
Quando
temos
, então o numerador tende a
e o denominador tende a
, que vai para
. Assim a fração tende a
:
Passo 6
Conclusão: o limite procurado é
. (Intuição rápida:
é muito menor que
para
grande, então a diferença fica parecida com
que tende a
.)