Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
;
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado. Queremos calcular o limite
Avaliar as expressões em
:
Portanto o limite tem a forma indeterminada
. O enunciado pede para usar a Regra de L’Hôpital, então vamos aplicá‑la.
Passo 2
Enunciado da Regra de L’Hôpital (de forma simples): se
ou ambas infinitas, e se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
perto de
, então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
). Aqui temos a forma
, logo podemos passar a derivadas.
Passo 3
Derivadas das funções do numerador e do denominador.
- Numerador:
. A derivada é
Explicação: a derivada de
é
; isto é uma regra básica de derivação.
- Denominador:
. Para derivar, uso a regra da cadeia:
se, então .
Aqui. Então (porque a derivada de é e a constante multiplica).
Portanto
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital substituindo pela razão das derivadas:
Simplifico a expressão dividindo por uma fração (dividir por
equivale a multiplicar por o recíproco):
Passo 5
Calculo do limite agora que a expressão é contínua em
. As funções
e
são contínuas, então posso fazer a substituição
diretamente:
Também vale comentar que no passo da Regra de L’Hôpital a nova razão de derivadas não criou divisões por zero nessa vizinhança (em
o denominador
é
, não zero), então a operação é válida.