Usando a Regra de L’Hôpital, encontre o valor dos limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{\ln \left(3 e^{x}-2\right)};

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado. Queremos calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{\ln\left(3e^{x}-2\right)}.
Avaliar as expressões em x=0:
\operatorname{sen}(0)=0,\qquad \ln\left(3e^{0}-2\right)=\ln(3\cdot1-2)=\ln(1)=0.
Portanto o limite tem a forma indeterminada 0/0. O enunciado pede para usar a Regra de L’Hôpital, então vamos aplicá‑la.

Passo 2

Enunciado da Regra de L’Hôpital (de forma simples): se
\lim_{x\to a} f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas infinitas, e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e g'(x)\neq0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty). Aqui temos a forma 0/0, logo podemos passar a derivadas.

Passo 3

Derivadas das funções do numerador e do denominador.
  • Numerador: f(x)=\operatorname{sen}(x). A derivada é
f'(x)=\cos(x).
Explicação: a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x); isto é uma regra básica de derivação.
  • Denominador: g(x)=\ln\bigl(3e^{x}-2\bigr). Para derivar, uso a regra da cadeia:
    se g(x)=\ln(u(x)), então g'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
    Aqui u(x)=3e^{x}-2. Então u'(x)=3e^{x} (porque a derivada de e^{x} é e^{x} e a constante 3 multiplica).
    Portanto
g'(x)=\frac{3e^{x}}{3e^{x}-2}.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital substituindo pela razão das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{\ln\left(3e^{x}-2\right)} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)}{\dfrac{3e^{x}}{3e^{x}-2}}.
Simplifico a expressão dividindo por uma fração (dividir por \dfrac{3e^{x}}{3e^{x}-2} equivale a multiplicar por o recíproco):
\frac{\cos(x)}{\dfrac{3e^{x}}{3e^{x}-2}} =\cos(x)\cdot\frac{3e^{x}-2}{3e^{x}}.

Passo 5

Calculo do limite agora que a expressão é contínua em x=0. As funções \cos(x) e e^{x} são contínuas, então posso fazer a substituição x\to0 diretamente:
\lim_{x\to 0}\cos(x)\cdot\frac{3e^{x}-2}{3e^{x}} =\cos(0)\cdot\frac{3e^{0}-2}{3e^{0}} =1\cdot\frac{3\cdot1-2}{3\cdot1} =\frac{1}{3}.
Também vale comentar que no passo da Regra de L’Hôpital a nova razão de derivadas não criou divisões por zero nessa vizinhança (em x=0 o denominador 3e^{x} é 3, não zero), então a operação é válida.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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