Usando a regra de L’Hospital, calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}x^{x}.
Note que a substituição direta leva à forma indeterminada 0^{0}. Vamos usar a regra de L’Hospital depois de reescrever a expressão de modo a obter uma indeterminação do tipo \tfrac{\infty}{\infty} ou \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Escrevemos
x^{x} = e^{\ln\bigl(x^{x}\bigr)} = e^{x\ln(x)}.
Como a função exponencial é contínua, temos
\lim_{x\to0}x^{x} = e^{\lim_{x\to0}x\ln(x)}.
Fica então reduzir \lim_{x\to0}x\ln(x).

Passo 3

Observe que
x\ln(x) = \frac{\ln(x)}{1/x}.
Ao fazermos x\to0^+, \ln(x)\to -\infty e 1/x\to+\infty, gerando a forma indeterminada \tfrac{-\infty}{+\infty}, na qual podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Pela regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(x)}{1/x} = \lim_{x\to0^+}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x)}{\frac{d}{dx}(1/x)} = \lim_{x\to0^+}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to0^+}(-x) = 0.
Portanto \lim_{x\to0}x\ln(x)=0.

Passo 5

Substituindo de volta em e^{x\ln(x)}, obtemos
\lim_{x\to0}x^{x} = e^{0} = 1.

Resposta

1

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