Usando as regras de derivação apropriadas, determine a derivada da função y=(2 x 3+1)(x 5-x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y=(2x^3+1)(x^5 - x)
e pede y'. Para isso vamos usar a regra do produto e a regra de derivação de potências.

Passo 2

Definimos
u(x)=2x^3+1,\quad v(x)=x^5 - x
para então calcular
u'(x)=\frac{d}{dx}(2x^3+1)=6x^2, \quad v'(x)=\frac{d}{dx}(x^5 - x)=5x^4 - 1.

Passo 3

Aplicando a regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v'
substituindo u, u', v e v':
y' = (6x^2)(x^5 - x) + (2x^3+1)(5x^4 - 1).

Passo 4

Agora expandimos e agrupamos termos semelhantes. Primeiro,
6x^2(x^5 - x) = 6x^7 - 6x^3, \quad (2x^3+1)(5x^4 - 1) = 10x^7 + 5x^4 - 2x^3 - 1.
Somando tudo:
y' = 6x^7 - 6x^3 + 10x^7 + 5x^4 - 2x^3 - 1
y' = 16x^7 + 5x^4 - 8x^3 - 1

Resposta

y' = 16x^7 + 5x^4 - 8x^3 - 1

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