Usando as Regras de Derivação encontre as derivadas das seguintes funções.
f(x)=e^{x+1}+1

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a derivada da função f definida por
f(x)=e^{x+1}+1.
Informações dadas:
\text{função: }f(x)=e^{x+1}+1.çã
O que se quer: calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Observação importante sobre a forma da função: f é soma de duas parcelas, uma que depende de x, e^{x+1}, e uma constante, 1. Há duas regras básicas que vamos usar:
\text{(Regra da soma)}\quad (g+h)' = g' + h'
\text{(Derivada de constante)}\quad (\text{constante})' = 0.
Ou seja, podemos derivar e^{x+1} e 1 separadamente e somar os resultados.

Passo 3

Agora precisamos da derivada de uma exponencial com argumento dependente de x. A regra chave é a seguinte (que vem da regra da cadeia):
\text{(Regra da cadeia para exponencial)}\quad \frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=e^{u(x)}\cdot u'(x),
onde u(x) é a função que aparece no expoente. Vou explicar isso devagar: a função exterior é e^{(\cdot)} que, se aplicada a algo, tem derivada igual a ela mesma; a função interior é u(x). A derivada total é a derivada da externa avaliada na interna multiplicada pela derivada da interna.

Passo 4

Identificamos a função interna no nosso caso:
u(x)=x+1.
Agora calculamos u'(x). A derivada de uma soma de termos lineares é a soma das derivadas; a derivada de x é 1 e a derivada de 1 (constante) é 0. Logo:
u'(x) = \frac{d}{dx}(x+1)=1+0=1.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia ao termo e^{x+1}, temos:
\frac{d}{dx}\big(e^{x+1}\big)=e^{x+1}\cdot u'(x)=e^{x+1}\cdot 1 = e^{x+1}.
E, como já vimos, a derivada da constante 1 é 0.

Passo 6

Agora juntamos tudo pela regra da soma:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x+1}\big)+\frac{d}{dx}(1)=e^{x+1}+0=e^{x+1}.

Passo 7

Como reforço (jeito alternativo, útil na prova): usar a propriedade de exponenciais
e^{x+1}=e^{1}\cdot e^{x}=e\cdot e^{x}.
Derivando e\cdot e^{x} percebemos que e é constante, então
\frac{d}{dx}\big(e\cdot e^{x}\big)=e\cdot\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)=e\cdot e^{x}=e^{x+1},
o que dá o mesmo resultado — bom para checar se você errou alguma conta.

Resposta

f'(x)=e^{x+1}

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