Usando as Regras de Derivação encontre as derivadas das seguintes funções.
f(x)=\frac{A}{x^{10}}+B e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a(s) derivada(s) da função
f(x)=\frac{A}{x^{10}}+B e^{x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • \;A e \;B são constantes (não dependem de x).
  • A tarefa é calcular a derivada de f em relação a x, isto é, f'(x).
    Não inicio a resolução aqui; só listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas.
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Isto significa que podemos derivar cada termo separadamente e depois somar os resultados.
  • Regra do fator constante: uma constante pode sair da derivada.
\frac{d}{dx}\big(c\cdot u(x)\big)=c\cdot\frac{d}{dx}u(x),
onde c é constante. No nosso caso A e B são constantes.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Exemplo rápido: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada da exponencial base e: a função \;e^{x} é especial porque sua derivada é ela mesma:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Exemplo: \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e, se tivesse \;e^{2x}, aí precisaríamos da regra da cadeia (mas aqui não precisamos porque o expoente é exatamente x).

Passo 3

Trate o primeiro termo \frac{A}{x^{10}}. É mais simples reescrevê-lo como potência:
\frac{A}{x^{10}}=A x^{-10}.
Agora aplique a regra do fator constante e a regra da potência. Usando \frac{d}{dx}(A x^{-10})=A\cdot\frac{d}{dx}x^{-10} e \frac{d}{dx}x^{-10}=-10 x^{-11}, obtemos:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{A}{x^{10}}\right)=A\cdot(-10)x^{-11}=-10A x^{-11}.
Se preferir em forma de fração,
-10A x^{-11}=-\frac{10A}{x^{11}}.

Passo 4

Agora trate o segundo termo B e^{x}. Use a regra do fator constante e a derivada de e^{x}:
\frac{d}{dx}\big(B e^{x}\big)=B\cdot\frac{d}{dx}e^{x}=B\cdot e^{x}=B e^{x}.
Comentário didático: como B é constante, apenas multiplicamos a derivada de e^{x} por B. Fácil — essa parte costuma cair direto na prova.

Passo 5

Pela linearidade (Passo 2), a derivada de f(x) é a soma das derivadas dos dois termos. Escrevendo isso simbolicamente:
\frac{d}{dx}\left(\frac{A}{x^{10}}+B e^{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{A}{x^{10}}\right)+\frac{d}{dx}\left(B e^{x}\right).
Nos Passos 3 e 4 já calculei cada parcela separadamente: \frac{d}{dx}\left(\frac{A}{x^{10}}\right)=-10A x^{-11} e \frac{d}{dx}\left(B e^{x}\right)=B e^{x}. Juntando mentalmente (ou escrevendo no rascunho) obtemos a derivada final, que eu vou colocar na seção de resposta para você conferir rapidamente.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{10A}{x^{11}}+B e^{x}

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