Exercício 16. A reta normal à curva C em um ponto P é, por definição, a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente a C em P . Achar a equação da tangente e da normal à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto
.
Informações dadas:
O objetivo é escrever explicitamente a equação da tangente em
e a equação da normal em
.
Passo 2
Entendendo o que precisamos fazer (passo didático): a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em um ponto
é dada pela derivada da função avaliada em
. Ou seja, se
, então a inclinação da tangente é
.
Regra usada (explicando a técnica): para derivar polinômios usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. Também aplicamos linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes desaparecem (derivada de constante é zero).
Aplicando isso à nossa função termo a termo:
Passo 3
Somando as derivadas dos termos obtemos a derivada da função:
Agora avaliamos essa derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Calcule passo a passo:
Portanto,
Interpretação rápida: a tangente é uma reta horizontal em
quando sua inclinação é zero.
Passo 4
Escrever a equação da reta tangente (fórmula usada e explicação): a forma ponto-inclinação de uma reta é
onde
é o ponto dado e
a inclinação. Substituindo
e
:
Como
, obtemos
Conclusão: a tangente em
é a linha horizontal
.
Passo 5
Equação da reta normal (definição e tratamento do caso): a reta normal em
é a reta que passa por
e é perpendicular à tangente. Se a inclinação da tangente é
(não nula), a inclinação da normal
é o negativo do inverso:
.
Aqui temos o caso especial em que
. O negativo do inverso de zero não está definido, mas geometricamente: a perpendicular a uma reta horizontal é uma reta vertical. A equação de uma reta vertical que passa por
é simplesmente
Portanto, a normal em
é a reta vertical
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): podemos checar que o ponto
realmente está na curva substituindo
em
:
que coincide com o
. Tudo consistente.