Exercício 16. A reta normal à curva C em um ponto P é, por definição, a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente a C em P . Achar a equação da tangente e da normal à curva y=x^{3}+2 x^{2}-4 x-3 no ponto (-2,5).

Passo 1

O enunciado pede: achar as equações da reta tangente e da reta normal à curva \;y = x^{3} + 2x^{2} - 4x - 3\; no ponto P = (-2,5).
Informações dadas:
\text{Curva: } y = x^{3} + 2x^{2} - 4x - 3
\text{Ponto: } P = (x_{0},y_{0}) = (-2,5)
O objetivo é escrever explicitamente a equação da tangente em P e a equação da normal em P.

Passo 2

Entendendo o que precisamos fazer (passo didático): a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em um ponto x_{0} é dada pela derivada da função avaliada em x_{0}. Ou seja, se y'= \dfrac{dy}{dx}, então a inclinação da tangente é m_{t}=y'(x_{0}).
Regra usada (explicando a técnica): para derivar polinômios usamos a regra do poder (power rule): a derivada de \;x^{n}\; é \;n x^{n-1}\;. Também aplicamos linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes desaparecem (derivada de constante é zero).
Aplicando isso à nossa função termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)=4x,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-4x\bigr)=-4,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(-3\bigr)=0.

Passo 3

Somando as derivadas dos termos obtemos a derivada da função:
y' = 3x^{2} + 4x - 4.
Agora avaliamos essa derivada em x_{0} = -2 para obter a inclinação da tangente:
m_{t} = y'(-2) = 3(-2)^{2} + 4(-2) - 4.
Calcule passo a passo:
(-2)^{2} = 4,
3\cdot 4 = 12,
4\cdot(-2) = -8,
12 + (-8) - 4 = 12 - 8 - 4 = 0.
Portanto,
m_{t} = 0.
Interpretação rápida: a tangente é uma reta horizontal em P quando sua inclinação é zero.

Passo 4

Escrever a equação da reta tangente (fórmula usada e explicação): a forma ponto-inclinação de uma reta é
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto dado e m a inclinação. Substituindo m=m_{t}=0 e P=(-2,5):
y - 5 = 0\cdot (x - (-2)).
Como 0\cdot(\cdot)=0, obtemos
y - 5 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 5.
Conclusão: a tangente em P é a linha horizontal \;y=5\;.

Passo 5

Equação da reta normal (definição e tratamento do caso): a reta normal em P é a reta que passa por P e é perpendicular à tangente. Se a inclinação da tangente é m_{t} (não nula), a inclinação da normal m_{n} é o negativo do inverso: m_{n} = -\dfrac{1}{m_{t}}.
Aqui temos o caso especial em que m_{t}=0. O negativo do inverso de zero não está definido, mas geometricamente: a perpendicular a uma reta horizontal é uma reta vertical. A equação de uma reta vertical que passa por x_{0}=-2 é simplesmente
x = -2.
Portanto, a normal em P é a reta vertical \;x=-2\;.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): podemos checar que o ponto P realmente está na curva substituindo x=-2 em y:
y(-2) = (-2)^{3} + 2(-2)^{2} - 4(-2) - 3 = -8 + 8 + 8 - 3 = 5,
que coincide com o y_{0}=5. Tudo consistente.

Resposta

y = 5
x = -2

Exercícios relacionados