Usando as Regras de Derivação encontre as derivadas das seguintes funções.
f(x)=2^{x}+3^{x}+4^{x}+5^{x}+6^{x}+7^{x}

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)=2^{x}+3^{x}+4^{x}+5^{x}+6^{x}+7^{x}
e pede para encontrar a derivada de f, ou seja, f'(x). As informações relevantes são os seis termos exponenciais com base constante ( 2,3,4,5,6,7) e expoente igual a x. Não há outras condições fornecidas, portanto vamos derivar cada termo e somá-los.

Passo 2

Primeiro fato que vamos usar (regra linear da derivada): a derivada da soma é a soma das derivadas. Em forma matemática:
\frac{d}{dx}\big( u(x)+v(x)+\cdots\big)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x)+\cdots
Isso nos permite derivar cada termo a^{x} separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Agora precisamos da regra para derivar uma função do tipo \,a^{x}\, com a>0 constante. Uma forma didática de chegar nessa fórmula é reescrever a^{x} usando a função exponencial natural:
a^{x}=e^{x\ln a}.
Aqui \ln a é o logaritmo natural de a, que é uma constante (porque a é constante). Essa reescrita é útil porque sabemos como derivar e^{u(x)}: se u(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Essa fórmula é a aplicação do chamado “regra da cadeia”: derivamos o expoente u(x) e multiplicamos pelo valor da exponencial.

Passo 4

Aplicando a ideia do passo anterior ao caso u(x)=x\ln a, temos u'(x)=\ln a. Logo
\frac{d}{dx}a^{x}=\frac{d}{dx}e^{x\ln a}=e^{x\ln a}\cdot\ln a=a^{x}\ln a.
Portanto a regra que vamos usar em cada termo é
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a,
onde a é a base constante (por exemplo 2,3,\dots).

Passo 5

Vamos aplicar essa regra a cada termo da soma. Para o primeiro termo:
\frac{d}{dx}2^{x}=2^{x}\ln 2.
Expliquei passo a passo: reescrevendo 2^{x}=e^{x\ln 2}, derivando com a regra da cadeia e substituindo u'(x)=\ln 2.

Passo 6

Do mesmo modo, para os demais termos obtemos:
\frac{d}{dx}3^{x}=3^{x}\ln 3, \qquad \frac{d}{dx}4^{x}=4^{x}\ln 4,
\frac{d}{dx}5^{x}=5^{x}\ln 5, \qquad \frac{d}{dx}6^{x}=6^{x}\ln 6, \qquad \frac{d}{dx}7^{x}=7^{x}\ln 7.
Cada um segue o mesmo raciocínio: escrever como e^{x\ln a} e aplicar a regra da cadeia.

Passo 7

Agora somamos todas essas derivadas (pela linearidade do passo 2). Assim obtemos a derivada de f:
f'(x)=2^{x}\ln 2+3^{x}\ln 3+4^{x}\ln 4+5^{x}\ln 5+6^{x}\ln 6+7^{x}\ln 7.
Uma forma compacta de escrever isso é
f'(x)=\sum_{a=2}^{7} a^{x}\ln a,
mas para a prova é seguro e claro escrever o somatório expandido como fiz acima.

Resposta

f'(x)=2^{x}\ln 2+3^{x}\ln 3+4^{x}\ln 4+5^{x}\ln 5+6^{x}\ln 6+7^{x}\ln 7

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