Usando as Regras de Derivação encontre as derivadas das seguintes funções.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para encontrar a derivada de
, ou seja,
. As informações relevantes são os seis termos exponenciais com base constante (
) e expoente igual a
. Não há outras condições fornecidas, portanto vamos derivar cada termo e somá-los.
Passo 2
Primeiro fato que vamos usar (regra linear da derivada): a derivada da soma é a soma das derivadas. Em forma matemática:
Isso nos permite derivar cada termo
separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Agora precisamos da regra para derivar uma função do tipo
com
constante. Uma forma didática de chegar nessa fórmula é reescrever
usando a função exponencial natural:
Aqui
é o logaritmo natural de
, que é uma constante (porque
é constante). Essa reescrita é útil porque sabemos como derivar
: se
é diferenciável, então
Essa fórmula é a aplicação do chamado “regra da cadeia”: derivamos o expoente
e multiplicamos pelo valor da exponencial.
Passo 4
Aplicando a ideia do passo anterior ao caso
, temos
. Logo
Portanto a regra que vamos usar em cada termo é
onde
é a base constante (por exemplo
).
Passo 5
Vamos aplicar essa regra a cada termo da soma. Para o primeiro termo:
Expliquei passo a passo: reescrevendo
, derivando com a regra da cadeia e substituindo
.
Passo 6
Do mesmo modo, para os demais termos obtemos:
Cada um segue o mesmo raciocínio: escrever como
e aplicar a regra da cadeia.
Passo 7
Agora somamos todas essas derivadas (pela linearidade do passo 2). Assim obtemos a derivada de
:
Uma forma compacta de escrever isso é
mas para a prova é seguro e claro escrever o somatório expandido como fiz acima.