Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
f(x)=\frac{1}{x^{10}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a derivada da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{10}}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{10}}.
    O que é pedido:
  • Calcular f'(x), a derivada de f em termos de x.
    Observação importante: a função está definida apenas para \displaystyle x\neq0.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função com expoente negativo, que costuma facilitar o uso das regras de derivação.
\frac{1}{x^{10}} = x^{-10}
Explicando: \displaystyle x^{-10} significa exatamente \displaystyle 1/x^{10}. Trocar para a forma \displaystyle x^{n} com n negativo nos permite aplicar diretamente a regra de potência.

Passo 3

Apresento a regra de potência, que é a ferramenta central aqui.
Seja uma função g definida por \displaystyle g(x)=x^{n}, onde n é um número real fixo. A regra de potência diz:
g'(x)=n\,x^{n-1}
O que cada símbolo significa:
  • \displaystyle n é o expoente (pode ser inteiro, negativo ou real).
  • \displaystyle x é a variável independente.
  • \displaystyle g'(x) é a derivada de g em relação a x.
    Intuição rápida: derivar diminui o expoente em 1 e multiplica pelo expoente original. Exemplinho simples para fixar: a derivada de \displaystyle x^{3} é \displaystyle 3x^{2} porque aplicamos a regra com n=3.

Passo 4

Agora aplico a regra de potência à função reescrita \displaystyle f(x)=x^{-10}.
Aqui \displaystyle n=-10. Pelo que foi dito:
f'(x) = -10\,x^{-10-1}
f'(x) = -10\,x^{-11}
Essa é uma forma expressa com expoente negativo. Para voltar à forma de fração (muitas provas preferem), uso \displaystyle x^{-11}=\frac{1}{x^{11}}, obtendo:
f'(x) = -\frac{10}{x^{11}}
Lembrete sobre domínio: essa expressão só faz sentido para \displaystyle x\neq0, que é também a condição de domínio da função original.

Passo 5

Comentário útil para a prova (dica rápida e ânimo): quando vir \displaystyle \frac{1}{x^{m}} reescreva como \displaystyle x^{-m} e aplique a regra de potência. Verifique sempre \displaystyle x\neq0. Você já tem a resposta; respira fundo e confia no procedimento — é sempre o mesmo e rápido de aplicar.

Resposta

f'(x)=-\frac{10}{x^{11}}

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