Usando as regras de derivação estudadas, determine a derivada das funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
O que é pedido: - Calcular
, a derivada de em termos de .
Observação importante: a função está definida apenas para.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função com expoente negativo, que costuma facilitar o uso das regras de derivação.
Explicando:
significa exatamente
. Trocar para a forma
com
negativo nos permite aplicar diretamente a regra de potência.
Passo 3
Apresento a regra de potência, que é a ferramenta central aqui.
Seja uma função definida por
, onde
é um número real fixo. A regra de potência diz:
Seja uma função
O que cada símbolo significa:
-
é o expoente (pode ser inteiro, negativo ou real). -
é a variável independente. -
é a derivada de em relação a .
Intuição rápida: derivar diminui o expoente eme multiplica pelo expoente original. Exemplinho simples para fixar: a derivada de é porque aplicamos a regra com .
Passo 4
Agora aplico a regra de potência à função reescrita
.
Aqui . Pelo que foi dito:
Aqui
Essa é uma forma expressa com expoente negativo. Para voltar à forma de fração (muitas provas preferem), uso
, obtendo:
Lembrete sobre domínio: essa expressão só faz sentido para
, que é também a condição de domínio da função original.
Passo 5
Comentário útil para a prova (dica rápida e ânimo): quando vir
reescreva como
e aplique a regra de potência. Verifique sempre
. Você já tem a resposta; respira fundo e confia no procedimento — é sempre o mesmo e rápido de aplicar.