Considere um sistema LTI cuja resposta ao impulso é dada por:
h(t)=e^{-\gamma t} u(t-1)
(a) Determine o sinal de saída y(t) para uma entrada da forma.
x(t)=u(t+2)-u(t-2)
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A resposta ao impulso h(t)=e^{-\gamma t}\,u(t-1).
  • A entrada x(t)=u(t+2)-u(t-2).
O que pede:
(a) calcular o sinal de saída y(t) quando o sistema LTI recebe x(t).
(b) dizer se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
Informações relevantes que nos foram dadas:
  • u(\cdot) é a função degrau unitário.
  • x(t)=u(t+2)-u(t-2) representa um pulso (amplitude 1) que está ativo entre t=-2 e t=2.
  • h(t)=0 para t<1 e h(t)=e^{-\gamma t} para t\ge 1.

Passo 2

Como o sistema é LTI, a saída é a convolução entre h e x:
y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Explico rapidinho: a convolução mistura h deslocada em \tau com x avaliada em t-\tau. Para calcular, identificamos onde os dois sinais têm suporte (onde são não nulos) e integramos nessa interseção.

Passo 3

Interpretação do pulso x:
x(t)=u(t+2)-u(t-2)
é igual a 1 quando -2\le t<2 e igual a 0 fora desse intervalo (os pontos de fronteira não importam para integrais). Logo, x(t-\tau)=1 quando
-2 \le t-\tau < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad t-2 < \tau \le t+2.

Passo 4

Substituindo h(\tau) e usando a condição acima na integral de convolução:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\gamma \tau}u(\tau-1)\,[u(t-\tau+2)-u(t-\tau-2)]\,d\tau.
Para que o integrando seja não nulo precisamos de duas condições simultâneas:
  1. u(\tau-1)=1\Rightarrow \tau\ge 1.
  2. x(t-\tau)=1\Rightarrow \tau\in (t-2,\,t+2].
Portanto a região de integração é a interseção [1,\infty)\cap (t-2,\,t+2]. Assim o intervalo de integração é
\tau\in\big(\max(1,\,t-2),\;t+2\big].
Se esse intervalo for vazio, então y(t)=0. A interseção é não vazia exatamente quando t+2> \max(1,t-2), o que conduz à condição prática t>-1. Logo:
  • para t\le -1 temos y(t)=0;
  • para t>-1 a integral tem os limites acima.

Passo 5

Agora dividimos em dois subcasos práticos para t>-1, conforme quem é o máximo entre 1 e t-2.
Caso A: -1<t<3. Aqui t-2<1, logo \max(1,t-2)=1. Assim
y(t)=\int_{1}^{\,t+2} e^{-\gamma \tau}\,d\tau.
Calculemos essa integral. Se \gamma\neq 0,
\int e^{-\gamma \tau}\,d\tau = -\frac{1}{\gamma} e^{-\gamma \tau},
portanto para -1<t<3 e \gamma\neq 0:
y(t)=\left[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma \tau}\right]_{\tau=1}^{\tau=t+2} = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma(t+2)} + \frac{1}{\gamma}e^{-\gamma\cdot 1} = \frac{e^{-\gamma}-e^{-\gamma(t+2)}}{\gamma}.
Se \gamma=0 temos e^{-\gamma \tau}=1 e a integral é simples comprimento do intervalo:
y(t)=\int_{1}^{t+2} 1\,d\tau = (t+2)-1 = t+1.

Passo 6

Caso B: t\ge 3. Aqui t-2\ge 1, então \max(1,t-2)=t-2. Portanto
y(t)=\int_{t-2}^{\,t+2} e^{-\gamma \tau}\,d\tau.
Para \gamma\neq 0,
y(t)=\left[-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma \tau}\right]_{\tau=t-2}^{\tau=t+2} = -\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma(t+2)} + \frac{1}{\gamma}e^{-\gamma(t-2)}.
Colocando em fator comum:
y(t)=\frac{e^{-\gamma(t-2)}\big(1-e^{-4\gamma}\big)}{\gamma}.
Se \gamma=0, novamente o integrando vale 1 e
y(t)=\int_{t-2}^{t+2} 1\,d\tau = (t+2)-(t-2)=4.

Passo 7

Resumo das expressões obtidas (já coloquei os dois casos \gamma\neq 0 e \gamma=0 separadamente acima). Relembrando o suporte: y(t)=0 para t\le -1; para -1<t<3 usamos a integral até t+2 com limite inferior 1; para t\ge 3 usamos integral sobre um intervalo de comprimento 4.

Passo 8

Agora a parte teórica sobre BIBO-estabilidade e causalidade, com justificativa.
Definições rápidas (em palavras):
  • BIBO-estável: um sistema LTI é BIBO-estável se a integral absoluta da resposta ao impulso for finita:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
  • Causal: um sistema é causal se h(t)=0 para todo t<0.
Aplicando a h(t)=e^{-\gamma t}u(t-1):
  • Para causalidade: como u(t-1)=0 para t<1, então em particular h(t)=0 para todo t<0. Portanto o sistema é causal (a resposta ao impulso não depende de instantes futuros).
  • Para BIBO-estabilidade: precisamos verificar
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt = \int_{1}^{\infty} e^{-\gamma t}\,dt.
Se \gamma for real:
• Se \gamma>0 a integral converge e dá \dfrac{e^{-\gamma}}{\gamma}, finita → sistema BIBO-estável.
• Se \gamma\le 0 a integral diverge (para \gamma=0 é \int_1^\infty 1\,dt=\infty; para \gamma<0 a exponencial cresce) → sistema não é BIBO-estável.
(Se \gamma fosse complexo, a condição geral é \operatorname{Re}(\gamma)>0 para estabilidade absoluta.)

Resposta

(a) Para \gamma\neq 0\): \[y(t)= \begin{cases} 0, & t\le -1,\\[6pt] \dfrac{e^{-\gamma}-e^{-\gamma(t+2)}}{\gamma}, & -1< t<3,\\[8pt] \dfrac{e^{-\gamma(t-2)}\big(1-e^{-4\gamma}\big)}{\gamma}, & t\ge 3. \end{cases}
Para (\gamma=0]:
y(t)= \begin{cases} 0, & t\le -1,\\[4pt] t+1, & -1< t<3,\\[4pt] 4, & t\ge 3. \end{cases}
(b) O sistema é causal. É BIBO-estável se, e somente se, \gamma>0 (porque \int_{1}^{\infty} e^{-\gamma t}\,dt=e^{-\gamma}/\gamma<\infty somente quando \gamma>0).]

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