Explico rapidinho: a convolução mistura h deslocada em \tau com x avaliada em t-\tau. Para calcular, identificamos onde os dois sinais têm suporte (onde são não nulos) e integramos nessa interseção.
Passo 3
Interpretação do pulso x:
x(t)=u(t+2)-u(t-2)
é igual a 1 quando -2\le t<2 e igual a 0 fora desse intervalo (os pontos de fronteira não importam para integrais). Logo, x(t-\tau)=1 quando
Resumo das expressões obtidas (já coloquei os dois casos \gamma\neq 0 e \gamma=0 separadamente acima). Relembrando o suporte: y(t)=0 para t\le -1; para -1<t<3 usamos a integral até t+2 com limite inferior 1; para t\ge 3 usamos integral sobre um intervalo de comprimento 4.
Passo 8
Agora a parte teórica sobre BIBO-estabilidade e causalidade, com justificativa.
Definições rápidas (em palavras):
BIBO-estável: um sistema LTI é BIBO-estável se a integral absoluta da resposta ao impulso for finita:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt < \infty.
Causal: um sistema é causal se h(t)=0 para todo t<0.
Aplicando a h(t)=e^{-\gamma t}u(t-1):
Para causalidade: como u(t-1)=0 para t<1, então em particular h(t)=0 para todo t<0. Portanto o sistema é causal (a resposta ao impulso não depende de instantes futuros).
Se \gamma for real:
• Se \gamma>0 a integral converge e dá \dfrac{e^{-\gamma}}{\gamma}, finita → sistema BIBO-estável.
• Se \gamma\le 0 a integral diverge (para \gamma=0 é \int_1^\infty 1\,dt=\infty; para \gamma<0 a exponencial cresce) → sistema não é BIBO-estável.
(Se \gamma fosse complexo, a condição geral é \operatorname{Re}(\gamma)>0 para estabilidade absoluta.)
(b) O sistema é causal. É BIBO-estável se, e somente se, \gamma>0 (porque \int_{1}^{\infty} e^{-\gamma t}\,dt=e^{-\gamma}/\gamma<\infty somente quando \gamma>0).]