Em um dado sistema foi aplicada a entrada
gerando a saída:
(a) Determine a resposta impulsiva deste sistema.
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
(c) Encontre a saída do sistema se no mesmo for aplicado o sinal
(b) Avalie se este sistema é BIBO-estável e causal, justificando sua resposta.
(c) Encontre a saída do sistema se no mesmo for aplicado o sinal
Passo 1
O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede três coisas:
- Informação dada: a entrada aplicada ao sistema foi
e a saída observada correspondente foi
- Perguntas:
(a) Determinar a resposta impulsiva do sistema.
(b) Dizer se o sistema é BIBO-estável e se é causal, justificando.
(c) Calcular a saída do sistema quando a entrada for
Observação importante (que uso para resolver): para relacionar saída a entrada do tipo
e determinar
é necessário assumir que o sistema é linear e invariante no tempo (LTI). Essa hipótese é a usada rotineiramente em exercícios desse tipo porque a definição de resposta impulsiva e as propriedades que vou usar (convolução, deslocamento por tempo do impulso) dependem dessa hipótese. Vou explicitar como uso essa hipótese nos próximos passos.
Passo 2
Revisão didática (conceitos essenciais que usarei).
- Impulso e resposta impulsiva: para um sistema LTI a resposta impulsiva
é a saída quando a entrada é . Uma propriedade fundamental é a convolução: para qualquer entrada ,
- Entrada delta deslocada e linearidade/tempo-invariância: se a entrada é
, a saída do sistema LTI é
Isto vem direto da convolução: substituindo
na integral resulta
.
Vou aplicar exatamente isso ao caso dado:
gerou a saída fornecida. Isso nos dá uma equação que permite resolver
.
Passo 3
Usando a propriedade do passo anterior, escrevemos a relação entre
e
para a entrada dada:
Mas o problema nos deu
. Igualando:
Agora isolamos
. Substituímos
por
(equivalente a resolver para
):
Substituindo
:
Simplificando os argumentos:
logo
Essa é a resposta impulsiva do sistema (não há ambiguidade se assumimos LTI).
Passo 4
Explicação do que significa a forma encontrada para
e observações úteis para a prova:
- A função
indica que para e passa a ser exponencial decrescente para . - Em provas, sempre verifique suporte (onde é não nulo) da
para responder questões de causalidade e para saber os limites da integração nas convoluções (isso economiza trabalho).
Passo 5
Verificação de BIBO-estabilidade.
- Critério (para sistemas LTI contínuos): o sistema é BIBO-estável se e somente se
for absolutamente integrável, isto é,
- Calcule a integral para
. Como para , a integral reduz-se a
Faça a mudança
(leva o limite inferior para
):
A primitiva de
é
, portanto
Como
, a integral é finita e, portanto, o sistema é BIBO-estável.
Passo 6
Verificação de causalidade.
- Critério (para sistemas LTI): o sistema é causal se e somente se
para todo . Isso significa que a resposta ao impulso não começa antes de . - No nosso caso
. A função anula para . Em particular, para todo temos então . Logo para todo , condição satisfeita. - Conclusão: o sistema é causal.
(Observação pedagógica: é suficiente que
para
; não importa que a resposta comece em
em vez de exatamente em
.)
Passo 7
Agora resolvemos a parte (c): calcular a saída para a entrada
Para um sistema LTI vale superposição e convolução linear, portanto
Uma forma prática de calcular é primeiro obter
e depois usar a propriedade de deslocamento no tempo:
Passo 8
Cálculo de
.
Usamos a definição de convolução:
Como
, a integração efetiva é sobre
. Além disso
apenas quando
. Então os limites da integral são
de
até
(assumindo
; se
o intervalo é vazio e
). Assim, para
:
Fazendo a mudança
(então
vai de
a
):
Para
temos
. Podemos então escrever de modo compacto:
Passo 9
Usando deslocamentos: como dito,
Agora montamos
:
Substituindo as expressões de
obtemos uma fórmula que pode ser apresentada de forma contínua por intervalos de tempo. É prático separar os intervalos onde surgem os degraus:
,
,
,
.
-
Para
: nenhum dos termos ativa-se, então . -
Para
: apenas está ativo:
- Para
: e ativos:
- Para
: todos os três termos ativos; substituindo e simplificando os termos constantes:
(Neste intervalo as partes constantes se cancelam, ficando apenas combinação linear de exponenciais.)]
Resposta
(a)
(b) O sistema é BIBO-estável (porque
) e é causal (porque
para todo
).
(c) A saída
é dada peça a peça por