Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
y=\frac{-5}{6 x^{3}-1}+5 x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\frac{-5}{6 x^{3}-1}+5 x^{3}.
Informações dadas:
  • A função está escrita como soma de dois termos: o primeiro é uma fração \dfrac{-5}{6x^{3}-1} e o segundo é um polinômio 5x^{3}.
  • A pergunta é: calcular y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro passo de organização: reescrever o primeiro termo em forma de potência, mais conveniente para derivar. Escreve-se
\frac{-5}{6x^{3}-1}=-5\,(6x^{3}-1)^{-1}.
Isso facilita aplicar a regra da cadeia e a regra da potência.

Passo 3

Vou listar as regras que vou usar (explicando cada uma):
  • Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se y=f(x)+g(x) então y'=f'(x)+g'(x).
  • Regra do fator constante: se c é constante e h(x) função, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot h(x)\big)=c\cdot h'(x).
  • Regra da potência (caso geral/composta): se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}. Para função composta h(x)=(u(x))^{n}, aplica-se a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}(u(x))^{n}=n(u(x))^{n-1}\,u'(x).
  • Regra da cadeia (forma direta): se H(x)=f(g(x)) então H'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Cada símbolo:
  • x é a variável independente.
  • n é um número real (expoente).
  • u(x) e g(x) são funções de x.
  • u'(x) e g'(x) representam as derivadas dessas funções em relação a x.

Passo 4

Derivando o primeiro termo T_1(x)=-5\,(6x^{3}-1)^{-1}.
Escolho u(x)=6x^{3}-1. Então T_1(x)=-5\,u(x)^{-1}.
Aplicando a regra do fator constante, da potência e a cadeia:
T_1'(x)=-5\cdot \frac{d}{dx}\big(u^{-1}\big).
Pela regra da potência composta,
\frac{d}{dx}\big(u^{-1}\big)=-1\cdot u^{-2}\cdot u'(x).
Agora u'(x)=\dfrac{d}{dx}(6x^{3}-1)=6\cdot 3x^{2}=18x^{2}.
Substituindo:
T_1'(x)=-5\cdot\big(-1\big)\cdot u^{-2}\cdot 18x^{2}=5\cdot 18x^{2}\cdot (6x^{3}-1)^{-2}.
Multiplicando os números:
T_1'(x)=90x^{2}\,(6x^{3}-1)^{-2}=\frac{90x^{2}}{(6x^{3}-1)^{2}}.

Passo 5

Derivando o segundo termo T_2(x)=5x^{3}.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência:
T_2'(x)=5\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=5\cdot 3x^{2}=15x^{2}.

Passo 6

Usando a linearidade (derivada da soma é soma das derivadas), a derivada de y é
y'(x)=T_1'(x)+T_2'(x)=\frac{90x^{2}}{(6x^{3}-1)^{2}}+15x^{2}.

Passo 7

Opcional: fatorar para uma forma mais compacta. Fatorando 15x^{2},
y'(x)=15x^{2}\left(\frac{6}{(6x^{3}-1)^{2}}+1\right).
Outra forma, em único quociente, seria
y'(x)=\frac{15x^{2}\big(6+(6x^{3}-1)^{2}\big)}{(6x^{3}-1)^{2}},
mas a forma somada é mais direta e frequentemente mais clara na prova.

Resposta

\dfrac{90x^{2}}{(6x^{3}-1)^{2}}+15x^{2}

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