Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
- A função está escrita como soma de dois termos: o primeiro é uma fração
e o segundo é um polinômio . - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Primeiro passo de organização: reescrever o primeiro termo em forma de potência, mais conveniente para derivar. Escreve-se
Isso facilita aplicar a regra da cadeia e a regra da potência.
Passo 3
Vou listar as regras que vou usar (explicando cada uma):
- Regra da linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se
é constante e função, . - Regra da potência (caso geral/composta): se
então . Para função composta , aplica-se a regra da cadeia: . - Regra da cadeia (forma direta): se
então .
Cada símbolo:
-
é a variável independente. -
é um número real (expoente). -
e são funções de . -
e representam as derivadas dessas funções em relação a .
Passo 4
Derivando o primeiro termo
.
Escolho
. Então
.
Aplicando a regra do fator constante, da potência e a cadeia:
Pela regra da potência composta,
Agora
.
Substituindo:
Multiplicando os números:
Passo 5
Derivando o segundo termo
.
Aplicando a regra do fator constante e a regra da potência:
Passo 6
Usando a linearidade (derivada da soma é soma das derivadas), a derivada de
é
Passo 7
Opcional: fatorar para uma forma mais compacta. Fatorando
,
Outra forma, em único quociente, seria
mas a forma somada é mais direta e frequentemente mais clara na prova.