Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função está definida por
. - Domínio natural:
(pois o denominador não pode ser zero). - Objetivo: calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Vou usar a regra do quociente (uma das regras operacionais básicas). A regra do quociente diz: se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui:
-
é o numerador (a função que está em cima); -
é o denominador (a função que está em baixo); -
é a derivada de e é a derivada de .
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
:
-
(derivada de é , constante some); -
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplificar o numerador passo a passo:
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Passo 5
Checagem alternativa (opcional, para ver outra técnica): escrever a função como soma para usar regras mais simples. Observa que
Derivando termo a termo: derivada de
é
. Para
, aplicar a regra da potência e a regra da cadeia:
Confere com o resultado obtido pela regra do quociente.
Passo 6
Conclusão e observação final: a derivada é
válida para
. Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto
(exceto
) é dada por essa expressão. Força aí — mesmo que pareça chato, é um padrão que aparece muito em provas: identificar numerador/denominador e aplicar a regra do quociente ou simplificar antes de derivar.