Usando as regras operacionais, determine as derivadas das funções a seguir:
y=\frac{x+5}{x-7}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \displaystyle y=\frac{x+5}{x-7}.
Informações dadas:
  • A função está definida por \displaystyle y=\frac{x+5}{x-7}.
  • Domínio natural: \displaystyle x\neq 7 (pois o denominador não pode ser zero).
  • Objetivo: calcular \displaystyle y', a derivada em relação a \displaystyle x.

Passo 2

Vou usar a regra do quociente (uma das regras operacionais básicas). A regra do quociente diz: se \displaystyle y=\frac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui:
  • \displaystyle u(x)=x+5 é o numerador (a função que está em cima);
  • \displaystyle v(x)=x-7 é o denominador (a função que está em baixo);
  • \displaystyle u'(x) é a derivada de \displaystyle u e \displaystyle v'(x) é a derivada de \displaystyle v.

Passo 3

Calcular as derivadas de u e v:
  • \displaystyle u(x)=x+5\Rightarrow u'(x)=1 (derivada de x é 1, constante some);
  • \displaystyle v(x)=x-7\Rightarrow v'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{1\cdot(x-7)-(x+5)\cdot1}{(x-7)^{2}}.
Agora simplificar o numerador passo a passo:
1\cdot(x-7)=x-7, \qquad (x+5)\cdot1=x+5,
x-7-(x+5)=x-7-x-5=(-12).
Logo
y'=\frac{-12}{(x-7)^{2}}.

Passo 5

Checagem alternativa (opcional, para ver outra técnica): escrever a função como soma para usar regras mais simples. Observa que
\frac{x+5}{x-7}=\frac{(x-7)+12}{x-7}=1+\frac{12}{x-7}.
Derivando termo a termo: derivada de 1 é 0. Para \displaystyle \frac{12}{x-7}=12\,(x-7)^{-1}, aplicar a regra da potência e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(12\,(x-7)^{-1}\bigr)=12\cdot(-1)(x-7)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x-7) =12\cdot(-1)(x-7)^{-2}\cdot1=\frac{-12}{(x-7)^{2}}.
Confere com o resultado obtido pela regra do quociente.

Passo 6

Conclusão e observação final: a derivada é \displaystyle y'=\frac{-12}{(x-7)^{2}} válida para \displaystyle x\neq 7. Isso significa que a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto x (exceto x=7) é dada por essa expressão. Força aí — mesmo que pareça chato, é um padrão que aparece muito em provas: identificar numerador/denominador e aplicar a regra do quociente ou simplificar antes de derivar.

Resposta

\displaystyle y'=\frac{-12}{(x-7)^{2}}

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