Usando as regras do produto e do quociente, calcule as derivadas das funções.
f(x)=5^xx^3

Passo 1

A gente precisa derivar a função f(x) = 5^xx^3. O conteúdo envolve a derivada de uma função exponencial 5^x, a derivada de potência x^3 e a aplicação da regra do quociente.

Passo 2

No caso de um quociente f(x)=u(x)v(x), usamos a regra do quociente. Vamos definir:
u(x) = 5^x, v(x) = x^3
Derivando cada um:
u'(x) = 5^x ln 5, v'(x) = 3x^2

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente
f'(x) = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, u', v, v':
f'(x) = 5^xln 5 cdot x^3 - 5^x cdot 3x^2(x^3)^2

Passo 4

Agora é só simplificar. No numerador podemos fatorar 5^x x^2 e no denominador temos (x^3)^2 = x^6. Isso dá:
f'(x) = 5^x x^2(ln 5,x - 3)x^6 = 5^x(ln 5,x - 3)x^4

Resposta

f'(x)=5^x(ln 5,x - 3)x^4

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