As derivadas à esquerda e à direita de F em a são definidas por
e
se esses limites existirem. Então & f-^prime(a)=lim h 0^- f(a+h)-f(a)h & f+^prime(a)=lim h 0^+ f(a+h)-f(a)h existe se, e somente se, essas derivadas unilaterais existirem e forem iguais.
Esboce o gráfico de f^prime(a).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função definida por
f(x)= 0,&se x<=0, 5-x,&se 0=4
Vamos estudar cada região, analisando valores, limites e continuidade nos pontos de fronteira.

Passo 2

Para x\le0 temos f(x)=0, ou seja, a parte do gráfico é uma linha horizontal sobre o eixo x. Em particular f(0)=0, que é o ponto fechado (0,0).

Passo 3

Para 0<x<4 temos f(x)=5−x, que é uma reta decrescente de coeficiente angular −1 e intercepto 5. Quando x→0+ a reta vai para f(0+)=5 (marcar um círculo aberto em (0,5)). Quando x→4− ela vai para f(4−)=1 (círculo aberto em (4,1)).

Passo 4

No ponto x=4, pela definição de f usamos f(4)=1/(5−4)=1. Então colocamos um ponto fechado em (4,1). Isso mostra que f é descontínua em x=0 (salta de 0 para perto de 5) mas contínua em x=4.

Passo 5

Para x>4 a função é f(x)=1/(5−x), uma hipérbole com assíntota vertical em x=5 (denominador zero) e assíntota horizontal y=0. No intervalo 4<x<5 ela vai de f(4+)=1 até +∞ quando x→5−. Para x>5 f(x)<0 e tende a 0− quando x→+∞.

Passo 6

Juntando tudo, o esboço tem: a linha y=0 para x\le0; um salto até (0,5) e depois a reta decrescente até (4,1) com as extremidades abertas; o ponto preenchido em (4,1); e a curva hiperbólica em x>4 com vertical em x=5 e horizontal y=0.
No esboço final, destaque também o ponto (0,0) sólido, os círculos abertos em (0,5) e (4,1), o ponto sólido em (4,1), a assíntota vertical x=5 e a assíntota horizontal y=0; depois basta ligar conforme explicado. No papel fica assim:

Resposta

O gráfico de f é composto por:
  • Para x≤0: reta horizontal y=0 (ponto fechado em (0,0)).
  • Para 0<x<4: reta decrescente y=5−x, com círculo aberto em (0,5) e em (4,1).
  • Em x=4: ponto fechado em (4,1).
  • Para x>4: hipérbole y=1/(5−x), com assíntota vertical x=5 e assíntota horizontal y=0, ramo positivo em (4,5) e ramo negativo para x>5.

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