(a) Usando repetidas transformações de fonte, reduza o circuito para uma fonte de tensão em série com um resistor, ambos em série com o resistor de 6 \mathrm{M} \Omega. (b) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 6 \mathrm{M} \Omega usando o circuito simplificado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) reduzir o circuito, por transformações de fonte repetidas, até obter um gerador de tensão em série com um resistor, ambos em série com o resistor de 6\\ \mathrm{M}\Omega; (b) calcular a potência dissipada pelo resistor de 6\\ \mathrm{M}\Omega usando o circuito simplificado.
Dados importantes que vejo na figura (peguei esses valores diretamente da imagem): corrente de 27\\ \mu\mathrm{A} com resistor paralelo de 750\\ \mathrm{k}\Omega (ramo esquerdo), resistor de 3{,}5\\ \mathrm{M}\Omega entre os nós esquerdo e central, resistor de 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega em série com uma fonte de 15\\ \mathrm{V} (ramo central para o terra), resistor de 7\\ \mathrm{M}\Omega do nó central ao terra e o resistor alvo 6\\ \mathrm{M}\Omega do mesmo nó ao terra. Vou reduzir a rede vista pelos terminais do resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega (ou seja, determinar o equivalente de Thevenin do resto) e então ligar o 6\\ \mathrm{M}\Omega a esse equivalente para achar a potência.

Passo 2

Primeira transformação: converter a fonte de corrente de 27\\ \mu\mathrm{A} em paralelo com 750\\ \mathrm{k}\Omega (Norton) em uma fonte de tensão em série com o mesmo resistor (Thevenin). A fórmula da transformação Norton→Thevenin é
V_{\text{th}} = I_{\text{N}} \cdot R,
onde I_{\text{N}} é a corrente da fonte Norton e R é o resistor paralelo (o mesmo que permanecerá em série no Thevenin). Aqui:
V_1 = 27\cdot 10^{-6}\,\mathrm{A}\times 750\cdot 10^{3}\,\Omega = 20{,}25\\ \mathrm{V}.
O resistor em série correspondente é R_{750}=750\\ \mathrm{k}\Omega.
Explicação didática curta: essa fórmula vem de exigir que as duas representações tenham a mesma tensão em circuito aberto e a mesma resistência vista pelos terminais; a tensão em circuito aberto do Norton é simplesmente I\cdot R.

Passo 3

Agora há uma série entre o resistor 750\\ \mathrm{k}\Omega (da transformação) e o resistor 3{,}5\\ \mathrm{M}\Omega. Dois resistores em série somam-se:
R_{\text{esq}} = 750\\ \mathrm{k}\Omega + 3{,}5\\ \mathrm{M}\Omega = 0{,}75\\ \mathrm{M}\Omega + 3{,}5\\ \mathrm{M}\Omega = 4{,}25\\ \mathrm{M}\Omega.
Assim o ramo esquerdo ficou como uma fonte de 20{,}25\\ \mathrm{V} em série com R_{\text{esq}}=4{,}25\\ \mathrm{M}\Omega, conectada ao nó central (o nó onde estão os resistores 7\\ \mathrm{M}\Omega, 6\\ \mathrm{M}\Omega e o ramo com 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega+ 15\\ \mathrm{V}).

Passo 4

Segunda transformação: transformar a fonte de tensão 15\\ \mathrm{V} em série com 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega (ramo central) em uma fonte de corrente (Norton) em paralelo com 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega. A relação é
I_{\text{N}} = \frac{V_{\text{th}}}{R}.
Cálculo numérico:
I_2 = \frac{15\\ \mathrm{V}}{1{,}2\cdot 10^{6}\\ \Omega} = 12{,}5\\ \mu\mathrm{A}.
Sobre a direção: na figura o terminal superior do gerador de 15\\ \mathrm{V} está com sinal “−” e o inferior com “+”, de modo que, visto do nó central para o terra, a tensão de circuito aberto daquele ramo é -15\\ \mathrm{V}. Ao converter, o sinal negativo implica que a corrente equivalente age do terra para o nó central (ou seja, entra no nó central) com magnitude 12{,}5\\ \mu\mathrm{A}. Em resumo: representação Norton desse ramo é uma fonte de corrente de 12{,}5\\ \mu\mathrm{A} injetando corrente para o nó central (saindo do terra em direção ao nó), em paralelo com 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega.
Didática: transformar série V+R em I||R permite juntar fontes de corrente com facilidade (paralelo), o que é útil para análises nodais.

Passo 5

Calcular a tensão de circuito aberto V_{\text{oc}} no nó central (essa será V_{\text{th}}). Vou aplicar KCL no nó central (chamo de V) com o resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega desconectado (aberto), porque queremos a tensão em circuito aberto.
Termos de corrente (todas em ampères, positivas saindo do nó para o terra):
  • Corrente por 7\\ \mathrm{M}\Omega: \dfrac{V}{7\cdot 10^{6}}.
  • Corrente por 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega: \dfrac{V}{1{,}2\cdot 10^{6}}.
    Correntes entrando o nó:
  • Corrente vinda da fonte de 20{,}25\\ \mathrm{V} através de R_{\text{esq}}=4{,}25\\ \mathrm{M}\Omega: \dfrac{20{,}25 - V}{4{,}25\cdot 10^{6}}.
  • Corrente da fonte de corrente Norton I_2 injeta 12{,}5\\ \mu\mathrm{A} no nó (entrando).
KCL: correntes que saem = correntes que entram:
\frac{V}{7\cdot 10^{6}}+\frac{V}{1{,}2\cdot 10^{6}}=\frac{20{,}25 - V}{4{,}25\cdot 10^{6}} + 12{,}5\cdot 10^{-6}.
Multiplico ambos os lados por 4{,}25\cdot 10^{6} para facilitar:
V\!\left(\frac{4{,}25}{7}+\frac{4{,}25}{1{,}2}\right) = 20{,}25 - V + 12{,}5\cdot 10^{-6}\cdot 4{,}25\cdot 10^{6}.
Calculos intermediários:
\frac{4{,}25}{7}=0{,}607142857,\qquad \frac{4{,}25}{1{,}2}=3{,}541666667,
soma =4{,}148809524. E
12{,}5\cdot 10^{-6}\cdot 4{,}25\cdot 10^{6} = 12{,}5\times 4{,}25 = 53{,}125\\ \mathrm{V}.
Reorganizando:
V(4{,}148809524)+V = 20{,}25 + 53{,}125
V(5{,}148809524) = 73{,}375
V = \frac{73{,}375}{5{,}148809524} \approx 14{,}257\\ \mathrm{V}.
Portanto o V_{\text{th}} = V_{\text{oc}} \approx 14{,}257\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Agora encontro a resistência equivalente R_{\text{th}} vista pelos terminais do resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega. Desativo as fontes independentes: uma fonte de tensão vira curto, uma fonte de corrente vira circuito aberto. Depois observo os resistores conectados do nó central ao terra:
  • O resistor R_{\text{esq}}=4{,}25\\ \mathrm{M}\Omega (porque a fonte de 20{,}25\\ \mathrm{V} foi substituída por curto, então o resistor que estava em série com ela fica diretamente do nó ao terra).
  • O resistor 7\\ \mathrm{M}\Omega.
  • O resistor 1{,}2\\ \mathrm{M}\Omega (a fonte de corrente do ramo central foi aberta, mas o resistor permanece ligado ao terra).
Esses três estão em paralelo, logo
\frac{1}{R_{\text{th}}} = \frac{1}{4{,}25}+\frac{1}{7}+\frac{1}{1{,}2}\quad\text{(em unidades de M}\Omega^{-1}\text{)}.
Numérico:
\frac{1}{R_{\text{th}}} \approx 0{,}235294118 + 0{,}142857143 + 0{,}833333333 = 1{,}211484594\\ \mathrm{M\Omega}^{-1},
R_{\text{th}} \approx \frac{1}{1{,}211484594}\\ \mathrm{M}\Omega \approx 0{,}82552\\ \mathrm{M}\Omega = 825{,}52\\ \mathrm{k}\Omega.

Passo 7

Agora tenho o equivalente de Thevenin visto pelo resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega:
  • V_{\text{th}} \approx 14{,}257\\ \mathrm{V},
  • R_{\text{th}} \approx 0{,}82552\\ \mathrm{M}\Omega.
Ligo o resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega em série com R_{\text{th}}. Para achar a potência dissipada em R_6=6\\ \mathrm{M}\Omega, posso usar divisão de tensão ou corrente do circuito série:
Corrente de série:
I = \frac{V_{\text{th}}}{R_{\text{th}}+R_6} = \frac{14{,}257}{0{,}82552\cdot 10^{6} + 6\cdot 10^{6}}\\ \mathrm{A}.
Calculando denominador:
R_{\text{tot}} = 6{,}82552\cdot 10^{6}\\ \Omega.
Logo
I \approx \frac{14{,}257}{6{,}82552\cdot 10^{6}} \approx 2{,}089\times 10^{-6}\\ \mathrm{A} = 2{,}089\\ \mu\mathrm{A}.
Potência em 6\\ \mathrm{M}\Omega:
P = I^{2}R_6 = (2{,}089\times 10^{-6})^{2}\times 6\cdot 10^{6}\\ \mathrm{W} \approx 2{,}618\times 10^{-5}\\ \mathrm{W} = 26{,}18\\ \mu\mathrm{W}.
(Verificação alternativa: tensão sobre 6\\ \mathrm{M}\Omega é V_6 = I\cdot 6\cdot 10^{6}\approx 12{,}533\\ \mathrm{V} e P=V_6^2/6\cdot 10^{6} dá o mesmo resultado.)

Resposta

(a) Equivalente Thevenin visto pelo resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega: V_{\text{th}}\approx 14{,}257\\ \mathrm{V} em série com R_{\text{th}}\approx 0{,}82552\\ \mathrm{M}\Omega. Esses dois em série com 6\\ \mathrm{M}\Omega.
(b) Potência dissipada pelo resistor 6\\ \mathrm{M}\Omega: P\approx 26{,}18\\ \mu\mathrm{W}.

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