(a) Use a superposição para determinar a contribuição individual de cada fonte independente para a tensão
indicada no circuito. (b) Calcule a potência absorvida pelo resistor
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Usar o princípio da superposição para determinar a contribuição individual de cada fonte independente (a fonte de tensão de
e a fonte de corrente de ) para a tensão indicada (a tensão no topo do resistor de , ou seja ). - (b) Calcular a potência absorvida pelo resistor de
.
Informações relevantes do circuito (retiradas da figura):
- Há três nós importantes: nó central superior (vou chamar de nó
), nó superior direito (vou chamar de nó ) e o trilho inferior que é terra (referência, ). - O resistor
liga o nó ao terra; a corrente através dele, apontada para baixo na figura, é chamada de . Como o terra é , temos a relação direta (sinal conforme definido no circuito). - O resistor
liga o nó ao terra; a tensão pedida é com polaridade mostrada ( no topo, no fundo). - Entre
e há um resistor e, em paralelo, uma fonte de corrente independente de (seta da esquerda para a direita, ou seja, do nó para o nó ). - Entre o nó
e o terra existe uma fonte de corrente dependente de valor cujo sentido é de baixo para cima (injetando corrente no nó ); portanto a corrente injetada no nó pela fonte dependente vale . - A fonte de tensão independente de
conecta um nó no topo à terra e esse nó superior esquerdo está ligado ao nó por um resistor . Na superposição, as fontes independentes serão desligadas uma a uma (tensão -> curto, corrente -> circuito aberto), mas a fonte dependente permanece ativa.
A partir daqui vamos aplicar a superposição: primeiro deixamos só a fonte de
ativa (a de
aberta), resolver o circuito e achar
devido a
. Depois deixamos só a fonte de
ativa (a de
em curto), resolver novamente e achar
devido a
. Finalmente somamos as duas contribuições para obter
total e calculamos a potência no
.
Passo 2
Breve aula sobre método escolhido (análise nodal + superposição):
- Superposição: para circuitos lineares, a resposta total é soma das respostas individuais geradas por cada fonte independente com as outras fontes independentes “desligadas” (tensão desligada → curto; corrente desligada → circuito aberto). Fontes dependentes NUNCA são desligadas porque dependem de variáveis do circuito.
- Análise nodal: escolhemos um nó de referência (terra) e escrevemos a lei das correntes de Kirchhoff (KCL) em cada nó não-referência: a soma das correntes que saem do nó é zero. Para um resistor entre nós
e , a corrente de para é . Sempre explico o que cada variável significa: é a tensão do nó em relação ao terra; é a tensão do nó .
Agora vamos aplicar isso ao caso com somente a fonte de
ativa.
Passo 3
Caso 1 — apenas a fonte de
ativa (a fonte de
é aberta).
-
O nó superior à esquerda da fonte de
tem tensão fixa . -
Incógnitas:
e . -
Escrevemos KCL no nó
. Correntes saindo de : - Para a esquerda através de
: . - Para a direita através de
: . - Para baixo através de
: .
Soma = 0:
Multiplicando por(mmc de e ): Simplificando: - Para a esquerda através de
-
Agora KCL no nó
. Correntes saindo de : - Para a esquerda através de
: . - Para baixo através de
: . - A fonte dependente injeta no nó
uma corrente igual a entrando no nó; isto é equivalente a uma corrente negativa saindo do nó de valor .
Soma = 0:
Multiplicando por: Isolando: - Para a esquerda através de
-
Substituindo
na primeira equação:
Então
Conclusão do caso 1: contribuição de
para
é
Passo 4
Caso 2 — apenas a fonte de
ativa (a fonte de
é substituída por curto, logo o nó à sua esquerda é terra).
-
Agora
. Incógnitas: e . -
KCL no nó
. Correntes saindo de : - Para a esquerda através de
: . - Para baixo através de
: . - Para a direita através de
: . - Além disso a fonte de corrente independente de
envia de para (ou seja, é uma corrente saindo do nó com valor ).
Soma = 0:
Multiplicando por: Simplificando: - Para a esquerda através de
-
KCL no nó
(igual raciocínio do caso 1 quanto à fonte dependente): que novamente dá -
Substituindo
na equação do nó :
Então
Conclusão do caso 2: contribuição da fonte de
para
é
Passo 5
Soma das contribuições (superposição) para obter
total:
Colocando em denominador comum
:
Isso é a tensão
(com a polaridade mostrada na figura: o terminal superior está em
em relação ao terra).
Passo 6
Agora calculamos a potência absorvida pelo resistor
.
-
Primeiro encontramos a tensão no nó
total (soma das contribuições dos dois casos): -
A corrente
(definida para baixo no circuito) vale: O sinal negativo indica que a corrente real tem sentido oposto ao indicado na figura (ou seja, sobe ao invés de descer), mas para potência do resistor usamos o quadrado da corrente. -
Potência absorvida por
(resistor absorve ):
Resposta
a)
,;
\n
b)
b)