(a) Use a superposição para determinar a contribuição individual de cada fonte independente para a tensão v indicada no circuito. (b) Calcule a potência absorvida pelo resistor 2 \Omega.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Usar o princípio da superposição para determinar a contribuição individual de cada fonte independente (a fonte de tensão de 4\\ \text{V} e a fonte de corrente de 6\\ \text{A}) para a tensão indicada v (a tensão no topo do resistor de 3\\ \Omega, ou seja v=V_B).
  • (b) Calcular a potência absorvida pelo resistor de 2\\ \Omega.
Informações relevantes do circuito (retiradas da figura):
  • Há três nós importantes: nó central superior (vou chamar de nó A), nó superior direito (vou chamar de nó B) e o trilho inferior que é terra (referência, 0\\ \text{V}).
  • O resistor 2\\ \Omega liga o nó A ao terra; a corrente através dele, apontada para baixo na figura, é chamada de i_1. Como o terra é 0\\ \text{V}, temos a relação direta \;i_1=\dfrac{V_A}{2} (sinal conforme definido no circuito).
  • O resistor 3\\ \Omega liga o nó B ao terra; a tensão pedida é v=V_B com polaridade mostrada ( + no topo, - no fundo).
  • Entre A e B há um resistor 1\\ \Omega e, em paralelo, uma fonte de corrente independente de 6\\ \text{A} (seta da esquerda para a direita, ou seja, do nó A para o nó B).
  • Entre o nó B e o terra existe uma fonte de corrente dependente de valor 0{,}4\,i_1 cujo sentido é de baixo para cima (injetando corrente no nó B); portanto a corrente injetada no nó B pela fonte dependente vale 0{,}4\,i_1 = 0{,}4\cdot \dfrac{V_A}{2} = 0{,}2\,V_A.
  • A fonte de tensão independente de 4\\ \text{V} conecta um nó no topo à terra e esse nó superior esquerdo está ligado ao nó A por um resistor 7\\ \Omega. Na superposição, as fontes independentes serão desligadas uma a uma (tensão -> curto, corrente -> circuito aberto), mas a fonte dependente permanece ativa.
A partir daqui vamos aplicar a superposição: primeiro deixamos só a fonte de 4\\ \text{V} ativa (a de 6\\ \text{A} aberta), resolver o circuito e achar V_B devido a 4\\ \text{V}. Depois deixamos só a fonte de 6\\ \text{A} ativa (a de 4\\ \text{V} em curto), resolver novamente e achar V_B devido a 6\\ \text{A}. Finalmente somamos as duas contribuições para obter v total e calculamos a potência no 2\\ \Omega.

Passo 2

Breve aula sobre método escolhido (análise nodal + superposição):
  • Superposição: para circuitos lineares, a resposta total é soma das respostas individuais geradas por cada fonte independente com as outras fontes independentes “desligadas” (tensão desligada → curto; corrente desligada → circuito aberto). Fontes dependentes NUNCA são desligadas porque dependem de variáveis do circuito.
  • Análise nodal: escolhemos um nó de referência (terra) e escrevemos a lei das correntes de Kirchhoff (KCL) em cada nó não-referência: a soma das correntes que saem do nó é zero. Para um resistor entre nós X e Y, a corrente de X para Y é \dfrac{V_X-V_Y}{R}. Sempre explico o que cada variável significa: V_A é a tensão do nó A em relação ao terra; V_B é a tensão do nó B.
Agora vamos aplicar isso ao caso com somente a fonte de 4\\ \text{V} ativa.

Passo 3

Caso 1 — apenas a fonte de \;4\\ \text{V} ativa (a fonte de 6\\ \text{A} é aberta).
  • O nó superior à esquerda da fonte de 4\\ \text{V} tem tensão fixa V_L=4\\ \text{V}.
  • Incógnitas: V_A e V_B.
  • Escrevemos KCL no nó A. Correntes saindo de A:
    • Para a esquerda através de 7\\ \Omega: \dfrac{V_A-V_L}{7}=\dfrac{V_A-4}{7}.
    • Para a direita através de 1\\ \Omega: \dfrac{V_A-V_B}{1}=V_A-V_B.
    • Para baixo através de 2\\ \Omega: \dfrac{V_A-0}{2}=\dfrac{V_A}{2}.
      Soma = 0:
    \frac{V_A-4}{7} + (V_A - V_B) + \frac{V_A}{2} = 0.
    Multiplicando por 14 (mmc de 7 e 2):
    2(V_A-4) + 14(V_A - V_B) + 7V_A = 0.
    Simplificando:
    23\,V_A - 14\,V_B - 8 = 0 \quad\Rightarrow\quad 23\,V_A - 14\,V_B = 8.
  • Agora KCL no nó B. Correntes saindo de B:
    • Para a esquerda através de 1\\ \Omega: \dfrac{V_B-V_A}{1}=V_B-V_A.
    • Para baixo através de 3\\ \Omega: \dfrac{V_B-0}{3}=\dfrac{V_B}{3}.
    • A fonte dependente injeta no nó B uma corrente igual a 0{,}2\,V_A entrando no nó; isto é equivalente a uma corrente negativa saindo do nó de valor -0{,}2\,V_A.
      Soma = 0:
    (V_B - V_A) + \frac{V_B}{3} - 0{,}2\,V_A = 0.
    Multiplicando por 3:
    3(V_B - V_A) + V_B - 0{,}6\,V_A = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\,V_B - 3{,}6\,V_A = 0.
    Isolando V_B:
    V_B = 0{,}9\,V_A.
  • Substituindo V_B = 0{,}9\,V_A na primeira equação:
    23\,V_A - 14(0{,}9\,V_A) = 8 \quad\Rightarrow\quad 23\,V_A - 12{,}6\,V_A = 8
10{,}4\,V_A = 8 \quad\Rightarrow\quad V_A = \frac{8}{10{,}4} = \frac{10}{13}\\ \text{V}.
Então
V_B = 0{,}9\,V_A = 0{,}9\cdot\frac{10}{13} = \frac{9}{13}\\ \text{V}.
Conclusão do caso 1: contribuição de 4\\ \text{V} para v é
v_{4V} = V_B = \frac{9}{13}\\ \text{V}\approx 0{,}6923\\ \text{V}.

Passo 4

Caso 2 — apenas a fonte de \;6\\ \text{A} ativa (a fonte de 4\\ \text{V} é substituída por curto, logo o nó à sua esquerda é terra).
  • Agora V_L=0. Incógnitas: V_A e V_B.
  • KCL no nó A. Correntes saindo de A:
    • Para a esquerda através de 7\\ \Omega: \dfrac{V_A-0}{7}=\dfrac{V_A}{7}.
    • Para baixo através de 2\\ \Omega: \dfrac{V_A}{2}.
    • Para a direita através de 1\\ \Omega: (V_A - V_B).
    • Além disso a fonte de corrente independente de 6\\ \text{A} envia 6\\ \text{A} de A para B (ou seja, é uma corrente saindo do nó A com valor 6\\ \text{A}).
      Soma = 0:
    \frac{V_A}{7} + \frac{V_A}{2} + (V_A - V_B) + 6 = 0.
    Multiplicando por 14:
    2V_A + 7V_A + 14(V_A - V_B) + 84 = 0.
    Simplificando:
    23\,V_A - 14\,V_B + 84 = 0 \quad\Rightarrow\quad 23\,V_A - 14\,V_B = -84.
  • KCL no nó B (igual raciocínio do caso 1 quanto à fonte dependente):
    (V_B - V_A) + \frac{V_B}{3} - 0{,}2\,V_A = 0,
    que novamente dá
    4\,V_B - 3{,}6\,V_A = 0 \quad\Rightarrow\quad V_B = 0{,}9\,V_A.
  • Substituindo V_B = 0{,}9\,V_A na equação do nó A:
    23\,V_A - 14(0{,}9\,V_A) = -84 \quad\Rightarrow\quad 23\,V_A - 12{,}6\,V_A = -84
10{,}4\,V_A = -84 \quad\Rightarrow\quad V_A = \frac{-84}{10{,}4} = -\frac{105}{13}\\ \text{V}.
Então
V_B = 0{,}9\,V_A = 0{,}9\cdot\left(-\frac{105}{13}\right) = -\frac{189}{26}\\ \text{V}.
Conclusão do caso 2: contribuição da fonte de 6\\ \text{A} para v é
v_{6A} = V_B = -\frac{189}{26}\\ \text{V}\approx -7{,}2692\\ \text{V}.

Passo 5

Soma das contribuições (superposição) para obter v total:
v = v_{4V} + v_{6A} = \frac{9}{13} + \left(-\frac{189}{26}\right).
Colocando em denominador comum 26:
v = \frac{18}{26} - \frac{189}{26} = -\frac{171}{26}\\ \text{V} \approx -6{,}5769\\ \text{V}.
Isso é a tensão v (com a polaridade mostrada na figura: o terminal superior está em -6{,}5769\\ \text{V} em relação ao terra).

Passo 6

Agora calculamos a potência absorvida pelo resistor 2\\ \Omega.
  • Primeiro encontramos a tensão no nó A total (soma das contribuições dos dois casos):
    V_{A,\text{total}} = V_{A,4V} + V_{A,6A} = \frac{10}{13} + \left(-\frac{105}{13}\right) = -\frac{95}{13}\\ \text{V} \approx -7{,}307692\\ \text{V}.
  • A corrente i_1 (definida para baixo no circuito) vale:
    i_1 = \frac{V_A}{2} = \frac{-\tfrac{95}{13}}{2} = -\frac{95}{26}\\ \text{A} \approx -3{,}653846\\ \text{A}.
    O sinal negativo indica que a corrente real tem sentido oposto ao indicado na figura (ou seja, sobe ao invés de descer), mas para potência do resistor usamos o quadrado da corrente.
  • Potência absorvida por 2\\ \Omega (resistor absorve P=i^2 R):
    P_{2\Omega} = i_1^2 \cdot 2 = \left(\frac{95}{26}\right)^2 \cdot 2 = \frac{18050}{676}\\ \text{W} \approx 26{,}6942\\ \text{W}.

Resposta

a) v_{4V}=\dfrac{9}{13}\\ \text{V},; v_{6A}=-\dfrac{189}{26}\\ \text{V} \n
b) P_{2\Omega} \approx 26{,}694\\ \text{W}

Exercícios relacionados